Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{m^2}{x^2} + m - 1} }}\) có bốn đường tiệm cận.

Lời giải

Với m = 0 hàm số không xác định

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{m^2}{x^2} + m - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{ - \sqrt {{m^2} + \frac{{m - 1}}{{{x^2}}}} }} = \frac{{ - 1}}{{\left| m \right|}}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{m^2}{x^2} + m - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{\sqrt {{m^2} - \frac{{m - 1}}{{{x^2}}}} }} = \frac{1}{{\left| m \right|}}\)

Suy ra đồ thị hàm số luôn có 2 tiệm cận ngang

Để đồ thị hàm số có 4 tiệm cận thì cần có thêm 2 tiệm cận đứng

⇒ m²x² + m – 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt

\( \Rightarrow {x^2} = \frac{{1 - m}}{{{m^2}}}\)

Do x² > 0 ⇒ 1 – m > 0 ⇒ m < 1

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}m < 1\\m \ne 0\end{array} \right.\) thì đồ thị hàm số có 4 tiệm cận.