Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm C thuộc đường tròn, với C không trùng A và B. Gọi I là trung điểm của AC. Vẽ tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại tiếp điểm C cắt tia OI tại điểm D.

a) Chứng minh OI // BC.

b) Chứng minh DA là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.

c) Vẽ CH ⊥ AB (H ∈ AB) và BK ⊥ CD (K ∈ CD). Chứng minh CK² = HA . HB.

Lời giải

a) Xét tam giác ABC có O, I lần lượt là trung điểm của AB, AC

Suy ra OI là đường trung bình

Do đó OI // BC

b) Vì C thuộc đường tròn đường kính AB nên tam giác ABC nội tiếp (O)

Suy ra tam giác ABC vuông tại C

Xét (O) có AC là dây cung; I là trung điểm của AC

Suy ra OI là trung trực của AC

Mà D ∈ OI nên DA = DC

Xét ∆ADO và ∆CDO có

DA = DC (chứng minh trên)

DO là cạnh chung

OA = OC

Suy ra ∆ADO = ∆CDO (c.c.c)

Do đó \(\widehat {A{\rm{D}}O} = \widehat {AC{\rm{O}}}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {AC{\rm{O}}} = 90^\circ \) nên \(\widehat {A{\rm{D}}O} = 90^\circ \), hay AO ⊥ AD

Mà AO là bán kính của (O)

Do đó DA là tiếp tuyến của đường tròn tâm O

c) Ta có CO ⊥ CD, BK ⊥ CD

Suy ra CO // BK (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Do đó \(\widehat {OCB} = \widehat {CBK}\) (hai góc so le trong)

Mà \(\widehat {CBO} = \widehat {OCB}\) nên \(\widehat {CBO} = \widehat {CKB}\)

Xét ∆BCH và ∆BCK có

\(\widehat {BHC} = \widehat {BKC}\left( { = 90^\circ } \right)\);

BC là cạnh chung;

\(\widehat {CBO} = \widehat {CKB}\) (chứng minh trên)

Suy ra ∆BCH = ∆BCK (cạnh huyền – góc nhọn)

Do đó CH = CK

Xét tam giác ABC vuông tại C có CH ⊥ AB, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có CH² = HA . HB

Suy ra CK² = HA . HB.