Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8 cm, AC = 6 cm, trung tuyến AM. Kẻ MD vuông góc với AB và Me vuông góc với AC.

a) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?

b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ADME là hình vuông.

c) Tính độ dài AM?

d) Tính diện tích tam giác ABM?

Lời giải

a) Vì MD ⊥ AB, ME ⊥ AC nên \(\widehat {M{\rm{D}}A} = \widehat {ME{\rm{A}}} = 90^\circ \)

Xét tứ giác ADME có \(\widehat {BAC} = \widehat {M{\rm{D}}A} = \widehat {ME{\rm{A}}} = 90^\circ \)

Suy ra ADME là hình chữ nhật

b) Để hình chữ nhật ADME là hình vuông thì AM là tia phân giác của \(\widehat {DA{\rm{E}}}\)

Khi đó tam giác ABC có AM vừa là phân giác vừa là trung tuyến

Nên tam giác ABC cân tại A

Vậy tam giác ABC vuông cân tại A thì ADME là hình vuông

c) Vì tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pytago ta có

BC² = AB² + AC² = 8² + 6² = 100

Suy ra BC = 10 (cm)

Do đó \(AM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.10 = 5\) (cm)

d) Vì MD ⊥ AB, AB ⊥ AC nên MD // AC (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Xét tam giác ABC có M là trung điểm của BC và MD // AC

Suy ra MD là đường trung bình

Do đó \(M{\rm{D}} = \frac{1}{2}AC\)

Ta có: \(\frac{{{S_{ABM}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}M{\rm{D}}.AB}}{{\frac{1}{2}AC.AB}} = \frac{{M{\rm{D}}}}{{AC}} = \frac{1}{2}\)

Mà \[{{\rm{S}}_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.8.6 = 24\] (cm²)

Suy ra S_ABM = 12 cm²

Vậy S_ABM = 12 cm².