Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân đôi một lần. Hỏi sau 24 giờ, tế bào ban đầu sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?

Lời giải:

+ Chia lần 1: Hình vuông màu vàng lớn có cạnh bằng 1 đơn vị thì có diện tích bằng 1 (đvdt). Chia hình vuông này thành 9 hình vuông nhỏ hơn và hình vuông ở chính giữa được tô màu xanh, thì hình vuông màu xanh đầu tiên này có diện tích bằng \(\frac{1}{9}\) (đvdt).

+ Chia lần 2: 8 hình vuông màu vàng còn lại, mỗi hình vuông này lại được chia thành 9 hình vuông con và tiếp tục tô xanh hình vuông chính giữa, khi đó mỗi hình vuông xanh nhỏ hơn có diện tích S₁ = \(\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{{{9^2}}}\), 8 hình vuông xanh nhỏ hơn có diện tích bằng 8S₁.

Cứ tiếp tục như vậy, mỗi lần chia ta sẽ tạo thành 8 hình vuông xanh nhỏ hơn tiếp đối với mỗi ô vuông vàng nhỏ.

Do đó, quá trình này được tiếp tục lặp lại năm lần, thì trừ lần đầu tiên, 4 lần sau, mỗi lần chia diện tích ô vuông xanh tạo thành lập thành một cấp số nhân có u₁ = \(8.\frac{1}{{{9^2}}}\) và công bội \(q = 8.\frac{1}{9}\).

Vậy tổng diện tích các hình vuông được tô màu xanh là

S = \(\frac{1}{9} + \frac{{8.\frac{1}{{{9^2}}}\left( {1 - {{\left( {\frac{8}{9}} \right)}^4}} \right)}}{{1 - \frac{8}{9}}} = \frac{{26\,\,281}}{{59\,\,049}}\) (đvdt).

Lời giải:

Giả sử 3 số cần tìm là x, y, z với x < y < z.

Ta có: x + y + z = 21 ⇒ x + z = 21 – y.

Theo Bài 2.29a, vì x, y, z lập thành một cấp số cộng nên y = \(\frac{{x + z}}{2}\).

Do đó, \(y = \frac{{21 - y}}{2}\). Từ đó suy ra y = 7.

Gọi d là công sai của cấp số cộng thì x = y – d = 7 – d và z = y + d = 7 + d.

Sau khi thêm các số 2; 3; 9 vào ba số x, y, z ta được ba số là x + 2, y + 3, z + 9 hay 9 – d, 10, 16 + d và theo đề bài thì 3 số này lập thành một cấp số nhân.

Áp dụng Bài 2.29b, ta có: (9 – d)(16 + d) = 10²

⇔ 144 – 7d – d² = 100

⇔ d² + 7d – 44 = 0

Giải phương trình bậc hai trên ta được d = – 11 hoặc d = 4.

+) Với d = – 11, ta có cấp số cộng gồm 3 số 18, 7, – 4.

+) Với d = 4, ta có cấp số cộng gồm 3 số 3, 7, 11.

Vậy có hai bộ ba số cần tìm là (18, 7, – 4) và (3, 7, 11).