Tìm ba số, biết theo thứ tự chúng lập thành cấp số cộng và có tổng bằng 21, và nếu lần lượt cộng thêm các số 2; 3; 9 vào ba số đó thì được ba số lập thành một cấp số nhân.

Lời giải:

Giả sử 3 số cần tìm là x, y, z với x < y < z.

Ta có: x + y + z = 21 ⇒ x + z = 21 – y.

Theo Bài 2.29a, vì x, y, z lập thành một cấp số cộng nên y = \(\frac{{x + z}}{2}\).

Do đó, \(y = \frac{{21 - y}}{2}\). Từ đó suy ra y = 7.

Gọi d là công sai của cấp số cộng thì x = y – d = 7 – d và z = y + d = 7 + d.

Sau khi thêm các số 2; 3; 9 vào ba số x, y, z ta được ba số là x + 2, y + 3, z + 9 hay 9 – d, 10, 16 + d và theo đề bài thì 3 số này lập thành một cấp số nhân.

Áp dụng Bài 2.29b, ta có: (9 – d)(16 + d) = 10²

⇔ 144 – 7d – d² = 100

⇔ d² + 7d – 44 = 0

Giải phương trình bậc hai trên ta được d = – 11 hoặc d = 4.

+) Với d = – 11, ta có cấp số cộng gồm 3 số 18, 7, – 4.

+) Với d = 4, ta có cấp số cộng gồm 3 số 3, 7, 11.

Vậy có hai bộ ba số cần tìm là (18, 7, – 4) và (3, 7, 11).