Cho biểu thức: \[A = \sqrt {\frac{{{{\left( {{x^2} - 3} \right)}^2} + 12{x^2}}}{{{x^2}}}} + \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 8x} \].

a) Rút gọn A.

b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của A là một số nguyên.

Lời giải

a) ĐKXĐ: x ¹ 0

\[A = \sqrt {\frac{{{{\left( {{x^2} - 3} \right)}^2} + 12{x^2}}}{{{x^2}}}} + \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 8x} \]

\[ = \sqrt {\frac{{{x^4} - 6{x^2} + 9 + 12{x^2}}}{{{x^2}}}} + \sqrt {{x^2} + 4x + 4 - 8x} \]

\[ = \sqrt {\frac{{{x^4} + 6{x^2} + 9}}{{{x^2}}}} + \sqrt {{x^2} - 4x + 4} \]

\[ = \sqrt {\frac{{{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}}}{{{x^2}}}} + \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} \]

\[ = \left| {\frac{{{x^2} + 3}}{x}} \right| + \left| {x - 2} \right|\]

\[ = \left| {x + \frac{3}{x}} \right| + \left| {x - 2} \right|\]

b) Để A Î ℤ thì \[\left| {x + \frac{3}{x}} \right| + \left| {x - 2} \right| \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{3}{x} \in \mathbb{Z}\]

Þ x Î Ư(3) = {± 1; ± 3}.

Vậy x Î {±1; ±3} thì A đạt giá trị nguyên.