7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 38)

Câu 1:

Cho \(\left\{ \begin{array}{l}a + b \ne 0\\a;\;b \ne 0\end{array} \right.\). Chứng minh rằng: \[\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}} = \left| {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{1}{{a + b}}} \right|\].

Câu 2:

Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}\) là bình phương của một số hữu tỉ.

Câu 3:

Cho biểu thức: \[A = \sqrt {\frac{{{{\left( {{x^2} - 3} \right)}^2} + 12{x^2}}}{{{x^2}}}} + \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 8x} \].

a) Rút gọn A.

b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của A là một số nguyên.

Câu 4:

Cho biểu thức: \(P = \left( { - \frac{2}{3}{x^2}{y^3}{z^2}} \right){\left( { - \frac{1}{2}xy} \right)^3}{\left( {x{y^2}z} \right)^2}\).

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm bậc và hệ số biểu thức B.

c) Tìm giá trị các biến để P £ 0.

Câu 5:

Chứng minh: \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{c^2} + {d^2}} \ge \sqrt {{{\left( {a + c} \right)}^2} + {{\left( {b + d} \right)}^2}} ,\;\forall a,\;b,\;c,\;d \in \mathbb{R}\).

Câu 6:

Cho tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}, từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3.

Câu 7:

Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số khác nhau và nhất thiết phải có chữ số 1 và 5?

Câu 8:

Cho một cấp số cộng (u_n) có u₁ = 5 và tổng 50 số hạng đầu bằng 5150. Tìm công thức của số hạng tổng quát u_n.

Câu 9:

Cho dãy số (u_n) là một cấp số cộng, biết u₂ + u₂₁ = 50. Tính tổng của 22 số hạng đầu của dãy.

Câu 10:

Tìm số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước.

Câu 11:

Có bao nhiêu mặt cầu chứa một đường tròn cho trước?

Câu 12:

Tìm x, biết: 4x + 5 chia hết cho x + 1.

Câu 13:

Tìm x biết: 4x − 5 chia hết cho x – 1.

Câu 14:

Cho \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 3} } \right) = 3\). Tính giá trị của biểu thức E = x + y.

Câu 15:

Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + \sqrt x = 2y\\{y^2} + \sqrt y = 2x\end{array} \right.\) có bao nhiêu cặp nghiệm (x; y) ¹ (0; 0)?

Câu 16:

Cho hình chóp đều S.ABCD có AC = 2a, mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy ( ABCD) một góc 45°. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.  

Câu 17:

Cho mặt phẳng (P) và hai đường thẳng song song a và b. Khẳng định nào sau đây đúng? 

Câu 18:

Cho một mặt phẳng (P) và hai đường thẳng song song a, b. Mệnh đề nào sau đây là sai?

Câu 19:

Cho hình 39.

a) Chứng minh ΔABD = ΔACD.

b) So sánh góc DBC và góc DCB.

Câu 20:

Cho tam giác ABC có AB = AC và D là trung điểm của BC. Gọi E là trung điểm của AC, trên tia đối của tia EB lấy điểm M sao cho EM = EB.

a) Chứng minh DABD = DACD.

b) Chứng minh rằng AM = 2.BD.

c) Tính số đo \[\widehat {MAD}\].

Câu 21:

Tính giá trị biểu thức: B = (3x + 5)(2x − 1) + (4x − 1)(3x − 2) với |x| = 2.

Câu 22:

Rút gọn và tính giá trị: A = (3x + 5)(2x − 1) − (1 − 4x)(3x + 2) tại |x| = 2.

Câu 23:

Khi quay 1 hình tam giác vuông một vòng quanh một cạnh góc vuông cố định ta được hình:

Câu 24:

Chọn đáp án đúng điền vào chỗ trống: “Khi quay ……… một vòng quanh một cạnh góc vuông cố định, ta được hình nón”  

Câu 25:

Một nhà máy sản xuất các hộp hình trụ kín cả hai đầu có thể tích V cho trước. Mối quan hệ giữa bán kính đáy R và chiều cao h của hình trụ để diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất là?

Câu 26:

Tìm m để phương trình log² x + log x − m = 0 có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 1).

Câu 27:

Tìm m để phương trình \(\log _2^2\left( x \right) - {\log _2}\left( {{x^2}} \right) + 3 = m\) có nghiệm x Î [1; 8].

Câu 28:

Tìm tất cả các giá trị của b để hàm số y = x² + 2(b + 6)x + 4 đồng biến trên khoảng (6; +∞).

Câu 29:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x³ − 2mx² + m²x + 2 đạt cực tiểu tại x = 1.

Câu 30:

Tính \(x = \sqrt[3]{{2 - \sqrt 3 }} + \sqrt[3]{{2 + \sqrt 3 }}\).

Câu 31:

Rút gọn biểu thức: \(A = \sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } \).

Câu 32:

Xác định hàm số bậc hai y = ax² − x + c biết đồ thị hàm số đi qua A(1; −2) và B(2; 3).

Câu 33:

Tìm công thức hàm số bậc hai, biết:

a) Đồ thị hàm số đi qua 3 điểm A(1; −3), B(0; −2), C(2; −10).

b) Đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường thẳng x = 3, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −16 và một trong hai giao điểm với trục hoành có hoành độ là −2.

Câu 34:

Cho \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 3} } \right) = 3\). Tính giá trị của biểu thức E = x + y.

Câu 35:

Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + \sqrt x = 2y\\{y^2} + \sqrt y = 2x\end{array} \right.\) có bao nhiêu cặp nghiệm (x; y) ¹ (0; 0)?

Câu 36:

Cho \[\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 1\]. Tính x + y.

Câu 37:

Cho 2 số thực x, y thỏa mãn \[\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 1\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 10x⁴ + 8y⁴ − 15xy + 6x² +5y² + 2017.

Câu 38:

Cho hàm số y = f (x) có đồ thị đạo hàm y = f ′(x) như hình bên.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 39:

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên ℝ và có đồ thị ở hình bên. Số nghiệm dương phân biệt của phương trình \(f\left( x \right) = - \sqrt 3 \) là:

Câu 40:

Giải phương trình 2x² + y² − 6x + 2xy − 2y + 5 = 0.

Câu 41:

Giải phương trình 2x² + y² − 2xy − 6x + 9 = 0.

Câu 42:

Cho hai số hữu tỉ \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d}\;\left( {b > 0,\;d > 0} \right)\). Chứng tỏ rằng:

a) Nếu \[\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\] thì ad < bc.

b) Nếu ad < bc thì \[\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\].

Câu 43:

Hình thang ABCD có đáy AB, CD.

a) Cho biết AD // BC. Chứng minh rằng AD = BC, AB = CD.

b) Cho biết AB = CD. Chứng minh rằng AD // BC, AD = BC.

Câu 44:

Cho biểu thức: M = (x − 3)³ − (x + 1)³ + 12x(x − 1).

a) Rút gọn M.

b) Tính giá trị M tại \(x = - \frac{2}{3}\).

c) Tìm x để M = −16.

Câu 45:

Rút gọn: (x − 3)³ − (x + 1)³ + 12x(x − 1).

Câu 46:

Cho a, b, c Î ℝ thỏa mãn a² + b² + c² = a³ + b³ + c³ = 1.

Tính a²⁰¹² + b²⁰¹³ + c²⁰¹⁴.

Câu 47:

Câu 48:

Cho a + b + c = 1, a² + b² + c² = 1, a³ + b³ + c³ = 1. Tính M = abc.

Câu 49:

Phân tích thành nhân tử:

a) A = ab(a − b) + bc(b − c) + ca(c − a)

b) B = a(b² − c²) + b(c² − a²) + c(a² − b²)

c) C = (a + b + c)³ − a³ − b³ − c³

Câu 50:

Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1; 17]. Tính xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3.

Câu 51:

Giải bất phương trình (n Î ℕ): \(\frac{{C_{n + 1}^2}}{{C_n^2}} \ge \frac{3}{{10}}n\).

Câu 52:

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn:

\(C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + {2^3}C_n^3 + ... + {2^{n - 2}}C_n^{n - 2} + {2^{n - 1}}C_n^{n - 1} + {2^n}C_n^n = 243\).

Câu 53:

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

\(\sqrt {5a + 1} + \sqrt {5b + 1} + \sqrt {5c + 1} \le 2\sqrt 6 \).

Câu 54:

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

\(\sqrt {\frac{{{a^3}}}{{5{a^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}}} + \sqrt {\frac{{{b^3}}}{{5{b^2} + {{\left( {c + a} \right)}^2}}}} + \sqrt {\frac{{{c^3}}}{{5{c^2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}}}} \le \sqrt {\frac{{a + b + c}}{3}} \).

Câu 55:

Cho x² + y² + xy = 1. Tìm GTNN, GTLN của A = x² − xy + 2y².

Câu 56:

Cho x, y không âm thỏa mãn: x² + y² = 2. Tìm GTNN, GTLN của

\(A = \frac{{{x^2} + {y^2} + 1}}{{xy + 1}}\).

Câu 57:

Cho tam giác vuông ABC vuông tại A có BC = 20 cm; AC = 12 cm. Quay tam giác ABC cạnh AB ta được một hình nón có thể tích là bao nhiêu?

Câu 58:

Tam giác ABC vuông tại A, có AB = c, AC = b. Gọi ℓ_a là độ dài đoạn phân giác trong góc \(\widehat {BAC}\). Tính ℓ_a theo b và c.

Câu 59:

Cho tam giác ABC có A(3; 3), B(2; 1), C(5; 1). Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Câu 60:

Cho tam giác ABC có A(7; 3), B(7; 1), C(10; 1). Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Câu 61:

Tìm x, biết: \(x = \sqrt {5 + \sqrt {13 + \sqrt {5 + \sqrt {13 + ......} } } } \).

Câu 62:

Cho a, b, c là các số dương tùy ý. Chứng minh rằng:

\[\frac{{bc}}{{b + c + 2a}} + \frac{{ca}}{{c + a + 2b}} + \frac{{ab}}{{a + b + 2c}} \le \frac{{a + b + c}}{4}\].

Câu 63:

Cho a, b, c là số thực dương thỏa mãn a + b + c = 2. Tìm giá trị lớn nhất của: \[P = \frac{{ab}}{{\sqrt {ab + 2c} }} + \frac{{bc}}{{\sqrt {bc + 2a} }} + \frac{{ca}}{{\sqrt {ca + 2b} }}\].

Câu 64:

Giải phương trình: sin² 2x − sin 2x − 2 = 0.

Câu 65:

Giải phương trình: sin 2x + sin² x = 1

Câu 66:

Hãy chọn câu đúng: 

Câu 67:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Câu 68:

Hình chiếu bằng của hình lăng trụ tam giác đều là hình gì?

Câu 69:

Hình chiếu bằng của hình lăng trụ tam giác đều là hình gì nếu mặt đáy song song với mặt phẳng chiếu bằng bao nhiêu?

Câu 70:

Khi quay nửa hình tròn một vòng quanh đường kính cố định, ta được:

Câu 71:

Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:  

Câu 72:

Cho các khẳng định:

(I): Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.

(II): Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa.

(III): Nếu ba điểm phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng thì chúng thẳng hàng.

Số khẳng định sai trong các khẳng định trên là:

Câu 73:

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: \[A = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\].

Câu 74:

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: \[A = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - x + 1}}\].

Câu 75:

Tìm số nguyên n sao cho n + 2 chia hết cho n − 3.

Câu 76:

Tìm số nguyên n lớn nhất sao cho n + 2 chia hết cho n − 3.

Câu 77:

Trong mặt phẳng Oxy cho A(−2m; − m), B(2m; m). Với giá trị nào của m thì đường thẳng AB đi qua O? 

Câu 78:

Trong mặt phẳng Oxy, cho A (m − 1; −1), B (2; 2 − 2m), C (m + 3; 3). Tìm giá trị m để A, B, C là ba điểm thẳng hàng.

Câu 79:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 4); B(3; 2); C(5; 4). Tính chu vi P của tam giác đã cho.

Câu 80:

Hình vuông ABCD có A(1; −3), B(5; 4). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại.

Câu 81:

Câu 82:

Tìm GTNN của biểu thức: A = −x² + 6x – 11.

Câu 83:

Khai triển (1 + 2x)¹⁰ = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a₁₀x¹⁰. Tìm a₇.

Câu 84:

Tìm hệ số của x⁷ trong khai triển biểu thức f (x) = (1 − 2x)¹⁰.

Câu 85:

Cho hai số hữu tỉ \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d}\;\left( {b > 0,\;d > 0} \right)\). Chứng tỏ rằng:

a) Nếu \[\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\] thì ad < bc.

b) Nếu ad < bc thì \[\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\].

Câu 86:

Hình thang ABCD có đáy AB, CD. Cho biết AB = CD. Chứng minh rằng AD // BC, AD = BC.

Câu 87:

Tính giá trị biểu thức A = (x − 3)² − (x + 1)² + 12x(x − 1) với \(x = - \frac{1}{2}\).

Câu 88:

Cho biểu thức: A = (x − 3)² − (x + 1)² + 12x(x − 1).

a) Rút gọn A.

b) Tính giá trị của A tại \(x = - \frac{2}{3}\).

c) Tìm x để A = −16.

Câu 89:

Cho bất phương trình 2x + 3y − 6 £ 0 (1). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Câu 90:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 6 < 0\\x \ge 0\\2x - 3y - 1 \le 0\end{array} \right.\] chứa điểm nào sau đây?

Câu 91:

Giả sử ta dùng 5 màu để tô cho 3 nước khác nhau trên bản đồ và không có màu nào được dùng hai lần. Tìm số các cách để chọn những màu cần dùng.

Câu 92:

Khi quay hình chữ nhật một vòng quanh một cạnh cố định, ta được hình gì?