7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 38)

Lời giải

Ta có \[\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}} \]

\[ = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)}^2} + \frac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} - \frac{2}{{ab}}} \]

\[ = \sqrt {{{\left( {\frac{{a + b}}{{ab}}} \right)}^2} + \frac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} - \frac{{2\left( {a + b} \right)}}{{ab}}\,.\,\frac{1}{{a + b}}} \]

\[ = \sqrt {{{\left( {\frac{{a + b}}{{ab}} - \frac{1}{{a + b}}} \right)}^2}} \]

\[ = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{1}{{a + b}}} \right)}^2}} \]

\[ = \left| {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{1}{{a + b}}} \right|\].

Vậy \[\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}} = \left| {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{1}{{a + b}}} \right|\] (đpcm).

Lời giải

Ta có a + b + c = 0 Þ a + b = −c

Suy ra \[\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\]

\[ = \frac{{{a^2}{b^2} + 2a{b^3} + {b^4} + {a^4} + 2{a^3}b + {a^2}{b^2} + {a^2}{b^2}}}{{{a^2}{b^2}{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\]

\( = \frac{{{b^2}{{\left( {a + b} \right)}^2} + {a^2}{{\left( {a + b} \right)}^2} + {{\left( {ab} \right)}^2}}}{{{a^2}{b^2}{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\)

\[ = \frac{{{a^4} + 2a{b^3} + 2{a^3}b + 3{a^2}{b^2} + {b^4}}}{{{a^2}{b^2}{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\]

\[ = \frac{{{{\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)}^2}}}{{{a^2}{b^2}{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\]

\[ = {\left( {\frac{{{a^2} + ab + {b^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}}} \right)^2}\] là bình phương của một số hữu tỉ.

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh

\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + 2\sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right)} \ge {\left( {a + c} \right)^2} + {\left( {b + d} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow ac + bd \le \sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right)} \) (1)

• Nếu ac + bd < 0: BĐT luôn đúng

• Nếu ac + bd ³ 0 thì (1) tương đương

(ac + bd)² £ (a² + b²)(c² + d²)

Û (ac)² + (bd)² + 2abcd £ (ac)² + (ad)² + (bc)² + (bd)²

Û (ad)² + (bc)² − 2abcd ³ 0

Û (ad − bc)² ³ 0 (luôn đúng).

Vậy bài toán được chứng minh.

Lời giải

Số tự nhiên thỏa mãn có dạng \[\overline {abcd} \] với a, b, c, d Î A và đôi một khác nhau.

• TH1: d = 0

Có 5 cách chọn a; 4 cách chọn b và 3 cách chọn c nên theo quy tắc nhân có: 

5 . 4 . 3 = 60 (số).

• TH2: d ¹ 0

d có 2 cách chọn là 2, 4

Khi đó có 4 cách chọn a (vì a khác 0 và khác d); có 4 cách chọn b và 3 cách chọn c.

Theo quy tắc nhân có: 2 . 4 . 4 . 3 = 96 (số).

Vậy có tất cả: 96 + 60 = 156 (số).

Lời giải

Số tự nhiên thỏa mãn có dạng \[\overline {abcde} \] với a, b, c, d, e Î A và đôi một khác nhau.

Số cách chọn 2 vị trí cho hai chữ số 1 và 5 từ 5 vị trí có sắp thứ tự là: \[A_5^2 = 20\].

Sắp 4 chữ số vào 3 vị trí còn lại có \[A_4^3 = 24\] (cách).

Vậy có 20 . 24 = 480 (số).

Lời giải

Sử dụng công thức: \({S_{50}} = \frac{{\left( {2{u_1} + 49d} \right)\,.\,50}}{2}\)

Û 5150 = 25(2.5 + 49d)

Û d = 4.

Vậy công thức của số hạng tổng quát u_n là: u_n = u₁ + (n − 1)d = 5 + (n − 1).4 = 1 + 4n.