Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 50)

⇔ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {3^t}}\\{1 + \sqrt x = {2^t}}\end{array}} \right.\) ⇔ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {3^t}}\\{x = {{\left( {{2^t} - 1} \right)}^2}}\end{array}} \right.\)

⇒ \({3^t} = {\left( {{2^t} - 1} \right)^2}\) ⇔ \({3^t} = {4^t} - {2.2^t} + 1\) ⇔ \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} = 1 - 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^t} + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t}\)

⇔ \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} + 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^t} - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t} = 1\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} + 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^t} - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t}\) trên (0; +∞) có:

\(f'\left( t \right) = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t}\ln \frac{3}{4} + 2{\left( {\frac{1}{2}} \right)^t}\ln \frac{1}{2} - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t}\ln \frac{1}{4}\)

\( = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t}\ln \frac{3}{4} + 2{\left( {\frac{1}{2}} \right)^t}\ln \frac{1}{2} + 2.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^t}\ln \frac{1}{2}\)

Mà \(\ln \frac{3}{4} < 0,\,\,\ln \frac{1}{2} < 0\) nên \(f'\left( t \right) < 0,\) ∀t > 0.

Do đó hàm số f(t) nghịch biến trên (0; +∞).

Dễ thấy f(2) = 1 nên phương trình f(t) = 1 có nghiệm duy nhất t = 2.

Suy ra \({\log _3}x = 2\) ⇔ x = 9.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 9.

Câu 4

Giải phương trình: \(3{\log _3}\left( {1 + \sqrt x + \sqrt[3]{x}} \right) = 2{\log _2}\left( {\sqrt x } \right).\)

Xem đáp án

Lời giải

Đặt \({\log _2}x = 6t\) ⇒ x = 2^6t.

Thay vào phương trình ta có:

\(3{\log _3}\left( {1 + {2^{3t}} + {2^{2t}}} \right) = 2{\log _2}\left( {{2^{3t}}} \right) = 6t\)

⇔ \({\log _3}\left( {1 + {2^{3t}} + {2^{2t}}} \right) = 2t\)

⇔ \(1 + {2^{3t}} + {2^{2t}} = {3^{2t}}\)

⇔ \({\left( {\frac{1}{9}} \right)^t} + {\left( {\frac{8}{9}} \right)^t} + {\left( {\frac{4}{9}} \right)^t} = 1\) (chia cả 2 vế cho 3^2t)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\left( {\frac{1}{9}} \right)^t} + {\left( {\frac{8}{9}} \right)^t} + {\left( {\frac{4}{9}} \right)^t} - 1\).

Ta thấy f(2) = 0.

Vì f(t) là hàm nghịch biến nên phương trình f(t) = 0 có 1 nghiệm duy nhất.

Suy ra t = 2 là nghiệm duy nhất.

Ta có: t = 2 ⇔ \({\log _2}x = 6.2 = 12\)

⇒ \(x = {2^{12}} = 4096\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 4096.

Câu 5

Đồ thị hàm số y = ax³ + bx² + cx + d có hai điểm cực trị là A(1; −7); B(2; −8). Tính y(−1).

Xem đáp án

Lời giải

Đồ thị hàm số đi qua A và B nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b + c + d = - 7}\\{8a + 4b + 2c + d = - 8}\end{array}} \right.\)

⇔ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{d = - 7 - a - b - c}\\{7a + 3b + c = - 1\,\,\,\left( 1 \right)}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c = 0\) có 2 nghiệm x = 1 và x = 2 (hoành độ của A và B) nên

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3a + 2b + c = 0\,\,\left( 2 \right)}\\{12a + 4b + c = 0\,\,\left( 3 \right)}\end{array}} \right.\)

Từ (1), (2) và (3) ta có a = 2; b = −9; c = 12 ⇒ d = −12

Khi đó y(−1) = −a + b – c + d = −35.

Vậy y(−1) = −35.

Câu 6

Cho hàm số y = ax³ + bx² + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Tìm mệnh đề đúng.

A. a < 0, b > 0, c > 0, d < 0.

B. a < 0, b < 0, c > 0, d < 0.

C. a > 0, b > 0, c > 0, d < 0.

D. a < 0, b > 0, c < 0, d < 0.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử