7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 88)

🔥 Học sinh cũng đã học

578 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Lê Trọng Tấn (TP.HCM) có đáp án

5.4 K lượt thi 22 câu hỏi

194 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Thủ Đức (TP.HCM) có đáp án

5 K lượt thi 22 câu hỏi

138 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Ngô Quyền (TP.HCM) có đáp án

4.9 K lượt thi 22 câu hỏi

110 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Mạc Đĩnh Chi (TP.HCM) có đáp án

4.9 K lượt thi 21 câu hỏi

80 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THCS - THPT Trần Cao Vân (TP.HCM) có đáp án

4.9 K lượt thi 22 câu hỏi

91 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Bùi Thị Xuân (TP.HCM) có đáp án

4.9 K lượt thi 22 câu hỏi

112 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Marie Curie (TP.HCM) có đáp án

4.9 K lượt thi 22 câu hỏi

111 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Nguyễn Thị Minh Khai (TP.HCM) có đáp án

4.9 K lượt thi 22 câu hỏi

Danh sách câu hỏi:

Câu 1/93

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho $\vec{B H} = \frac{1}{3} \vec{H C}$ . Điểm M di động nằm trên BC sao cho $\vec{B M} = x \vec{B C}$ . Tìm x sao cho độ dài của $\vec{M A} + \vec{G C}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho (ảnh 1)

Dựng hình bình hành AGCE

Ta có: $\vec{M A} + \vec{G C} = \vec{M A} + \vec{A E} = \vec{M E}$

Kẻ EF ⊥ BC (F ∈ BC)

Khi đó $|\vec{M A} + \vec{G C}| = |\vec{M E}| = M E \geq E F$

Do đó $|\vec{M A} + \vec{G C}|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi M ≡ F

Gọi P là trung điểm của AC, Q là hình chiếu vuông góc của P lên BC

Vì AGCE là hình bình hành, P là trung điểm của AC

Suy ra P là trung điểm của GE

Do đó $G P = P E = \frac{1}{2} G E$

Vì G là trọng tâm tam giác ABC, BP là trung tuyến

Suy ra $B G = \frac{2}{3} B P, G P = \frac{1}{3} B P$

Ta có: BE = BP + PE

Hay $B E = B P + \frac{1}{3} B P = \frac{4}{3} B P$

Xét ∆BPQ và ∆BEF có

$\hat{F B E}$ là góc chung;

$\hat{B Q P} = \hat{B F E} = 90 °$

Suy ra: ∆BPQ ∽ ∆BEF (g.g)

Do đó $\frac{B P}{B E} = \frac{B Q}{B F} = \frac{3}{4} \Rightarrow \vec{B F} = \frac{4}{3} \vec{B Q}$

Xét DAHC có P là trung điểm của AC và AH // PQ (vì cùng vuông góc với BC)

Suy ra Q là trung điểm của CH

Hay $\vec{H Q} = \frac{1}{2} \vec{H C}$ ; mà $\vec{B H} = \frac{1}{3} \vec{H C}$

Ta có: $\vec{B Q} = \vec{B H} + \vec{H Q} = \frac{1}{3} \vec{H C} + \frac{1}{2} \vec{H C} = \frac{5}{6} \vec{H C} = \frac{5}{6} . \frac{3}{4} \vec{B C} = \frac{5}{8} \vec{B C}$

Do đó: $\vec{B F} = \frac{4}{3} \vec{B Q} = \frac{5}{6} \vec{B C}$

Vậy $x = \frac{5}{6}$ .

Câu 2/93

Cho tam giác ABC có $\hat{A} = 70 °$ , các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở I. Tính $\hat{B I C}$

Xem đáp án

Lời giải

Trong ∆ABC, ta có: $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °$ (tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra: $\hat{B} + \hat{C} = 180 ° - \hat{A} = 180 ° - 70 ° = 110 °$

Ta có:

$\hat{B_{1}} = \frac{1}{2} \hat{B}$ (vì BD là tia phân giác)

$\hat{C_{1}} = \frac{1}{2} \hat{C}$ (vì CE là tia phân giác)

Trong ∆BIC, ta có:

$\hat{B I C} + \hat{B_{1}} + \hat{C_{1}} = 180 °$ (tổng 3 góc trong tam giác)

Suy ra: $\hat{B I C} = 180 ° - \frac{1}{2} (\hat{B} + \hat{C}) = 180 ° - \frac{1}{2} .110 ° = 125 °$ .

Câu 3/93

Cho tam giác ABC có $\hat{C} = 90 °$ . Kẻ đường cao CH. Biết HB - HA = AC. Tính $\hat{A}, \hat{B}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC có góc C = 90 độ . Kẻ đường cao CH. Biết HB - HA = AC. Tính góc A, B . (ảnh 1)

Ta có: HB – HA= AC; HB + HA = AB

Suy ra: $A H = \frac{A B - A C}{2}$

AC² = AH.AB = $\frac{A B - A C}{2} . A B = \frac{A B^{2}}{2} - \frac{A B . A C}{2}$

⇒ $\frac{A B^{2}}{2 A C^{2}} + \frac{- A B}{2 A C} = 1$

⇔ $\frac{A B^{2}}{2 A C^{2}} - \frac{A B}{2 A C} - 1 = 0$

⇔ $[\begin{array}{l} \frac{A B}{A C} = - 1 \\ \frac{A B}{A C} = 2 \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} \frac{A C}{A B} = - 1 \\ \frac{A C}{A B} = \frac{1}{2} \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} \sin \hat{B} = - 1 \\ \sin \hat{B} = \frac{1}{2} \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} \hat{B} = - 90 ° (L) \\ \hat{B} = 30 ° \end{array}$

Suy ra: $\hat{A} = 180 ° - 90 ° - 30 ° = 60 °$ .

Câu 4/93

Cho tam giác ABC có góc C nhọn, AH và BK là hai đường cao, HK = $\sqrt{7}$ , diện tích tứ giác ABHK bằng 7 lần diện tích tam giác CHK. Khi đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng?

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC có góc C nhọn, AH và BK là hai đường cao, HK (ảnh 1)

Ta có: $\hat{A K B} = \hat{A H B} = 90 °$

Suy ra ABHK nội tiếp đường tròn đường kính AB

⇒ $\hat{C H K} = \hat{C A B}, \hat{C K H} = \hat{C B A}$

⇒ ΔCHK ∽ ΔCAB (g.g)

⇒ $\frac{S_{C A B}}{S_{C H K}} = \frac{A B^{2}}{H K^{2}} \Rightarrow \frac{S_{C A B} - S_{C H K}}{S_{C H K}} = \frac{A B^{2}}{7} - 1 \Leftrightarrow \frac{S_{A B H K}}{S_{C H K}} = \frac{A B^{2}}{7} - 1 \Leftrightarrow 7 = \frac{A B^{2}}{7} - 1$

Suy ra: AB = $2 \sqrt{14}$

Mặt khác: $\frac{C H}{C A} = \frac{H K}{A B} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

⇒ $\sin \hat{C} = \frac{C H}{C A} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Do $\frac{A B}{\sin \hat{C}} = 2 R \Rightarrow R = 4 \sqrt{7}$ .

Câu 5/93

Cho tam giác ABC cân. Gọi M là trung điểm của đường cao AH, D là giao điểm của AB và CM. Chứng minh: $A D = \frac{1}{3} A B$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC cân. Gọi M là trung điểm của đường cao AH, D là giao điểm của AB và CM. Chứng minh: . (ảnh 1)

Kẻ HF // DC

Xét tam giác DBC có:

HB = HC (tam giác ABC có AH vừa là đường cao vừa là đường trung trực)

DC // HF

N là trung điểm DB (DN = NB) (1)

Xét tam giác AFH có: M là trung điểm AH (MA = MH)

DM // HF (HF // DC, M thuộc DC)

Suy ra: D là trung điểm NA hay DN = NA (2)

Từ (1), (2): DN = DA = NB

Vậy $A D = \frac{1}{3} A B$

Câu 6/93

Cho tam giác ABC, D là trung điểm AB, E là trung điểm AC. Vẽ F sao cho E là trung điểm DF. Chứng minh:

a) DB = CF.

b) ∆BDC = ∆FCD.

c) DE // BC và $D E = \frac{1}{2} B C$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC, D là trung điểm AB, E là trung điểm AC. Vẽ F sao cho E là trung điểm DF (ảnh 1)

a) Xét tam giác AED và CEF có:

EA = EC

$\hat{A E D} = \hat{C E F}$ (đối đỉnh)

ED = EF

⇒ ∆AED = ∆CEF (c.g.c)

⇒ DA = CF

Mà DA = DB nên DB = CF

b) ∆AED = ∆CEF nên: $\hat{A} = \hat{E C F}$

Suy ra: AB // CF

⇒ $\hat{B D C} = \hat{D C F}$ (so le trong)

Xét tam giác BDC và FCD có:

DC chung

$\hat{B D C} = \hat{D C F}$

BD = CF

⇒ ∆BDC = ∆FCD (c.g.c)

c) ∆BDC = ∆FCD nên $\hat{D C B} = \hat{C D F}$

Suy ra: DE // BC (2 góc so le trong bằng nhau)

Lại có BC = DF = 2DE

Nên: $D E = \frac{1}{2} B C$ .

Câu 7/93

Cho tam giác đều ABC cạnh 2a, G là trọng tâm. Khi đó độ dài $\vec{A B} - \vec{G C}$ bằng?

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác đều ABC cạnh 2a, G là trọng tâm. Khi đó độ dài vecto AB - vecto GC bằng? (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm AB

$|\vec{A B} - \vec{G C}| = |\vec{A B} + \vec{C G}| = |\vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{C M}| = |\vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{C A} + \frac{1}{3} \vec{C B}| = |\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} (\vec{C A} + \vec{C B})|$

$= |\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{C B}| = \frac{2}{3} A M$

$\frac{2}{3} A M = \frac{2}{3} \sqrt{{(4 a)}^{2} - {(2 a)}^{2}} = \frac{4 a \sqrt{3}}{3}$ .

Câu 8/93

Tam giác ABC đều cạnh a, dựng hình vuông BCMN. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính theo a độ dài vectơ $\vec{u} = \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G M} + \vec{G N}$ .

Xem đáp án

Lời giải

$\vec{u} = \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G M} + \vec{G N} = \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{C M} + \vec{G B} + \vec{B N}$

$= \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G B} + \vec{C M} + \vec{B N} = \vec{G B} + 2 \vec{B N}$

G là trọng tâm nên $B G = \frac{2}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

Ta có $|\vec{u}| = |\vec{G B} + 2 \vec{B N}|$

$\Rightarrow {|\vec{u}|}^{2} = B G^{2} + 4 B N^{2} + 4. \vec{G B} . \vec{B N} = \frac{a^{2}}{3} + 4 a^{2} + 4. \frac{a \sqrt{3}}{3} . a . \cos 120 ° = \frac{13 - 2 \sqrt{3}}{3} a^{2}$

Vậy $|\vec{u}| = \sqrt{\frac{13 - 2 \sqrt{3}}{3}} a$ .

Câu 9/93