Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho BH→=13HC→. Điểm M di động nằm trên BC sao cho BM→=xBC→. Tìm x sao cho độ dài của MA→+GC→ đạt giá trị nhỏ nhất.

Dựng hình bình hành AGCE Ta có: MA→+GC→=MA→+AE→=ME→ Kẻ EF ⊥ BC (F ∈ BC) Khi đó MA→+GC→=ME→=ME≥EF Do đó MA→+GC→ đạt giá trị nhỏ nhất khi M ≡ F Gọi P là trung điểm của AC, Q là hình chiếu vuông góc của P lên BC Vì AGCE là hình bình hành, P là trung điểm của AC Suy ra P là trung điểm của GE Do đó GP=PE=12GE Vì G là trọng tâm tam giác ABC, BP là trung tuyến Suy ra BG=23BP,GP=13BP Ta có: BE = BP + PE Hay BE=BP+13BP=43BP Xét ∆BPQ và ∆BEF có FBE^ là góc chung; BQP^=BFE^=90° Suy ra: ∆BPQ ∽ ∆BEF (g.g) Do đó BPBE=BQBF=34⇒BF→=43BQ→ Xét DAHC có P là trung điểm của AC và AH // PQ (vì cùng vuông góc với BC) Suy ra Q là trung điểm của CH Hay HQ→=12HC→; mà BH→=13HC→ Ta có: BQ→=BH→+HQ→=13HC→+12HC→=56HC→=56.34BC→=58BC→ Do đó: BF→=43BQ→=56BC→ Vậy x=56.

Câu hỏi:

13/07/2024 734

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho $\vec{B H} = \frac{1}{3} \vec{H C}$ . Điểm M di động nằm trên BC sao cho $\vec{B M} = x \vec{B C}$ . Tìm x sao cho độ dài của $\vec{M A} + \vec{G C}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho (ảnh 1)

Dựng hình bình hành AGCE

Ta có: $\vec{M A} + \vec{G C} = \vec{M A} + \vec{A E} = \vec{M E}$

Kẻ EF ⊥ BC (F ∈ BC)

Khi đó $|\vec{M A} + \vec{G C}| = |\vec{M E}| = M E \geq E F$

Do đó $|\vec{M A} + \vec{G C}|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi M ≡ F

Gọi P là trung điểm của AC, Q là hình chiếu vuông góc của P lên BC

Vì AGCE là hình bình hành, P là trung điểm của AC

Suy ra P là trung điểm của GE

Do đó $G P = P E = \frac{1}{2} G E$

Vì G là trọng tâm tam giác ABC, BP là trung tuyến

Suy ra $B G = \frac{2}{3} B P, G P = \frac{1}{3} B P$

Ta có: BE = BP + PE

Hay $B E = B P + \frac{1}{3} B P = \frac{4}{3} B P$

Xét ∆BPQ và ∆BEF có

$\hat{F B E}$ là góc chung;

$\hat{B Q P} = \hat{B F E} = 90 °$

Suy ra: ∆BPQ ∽ ∆BEF (g.g)

Do đó $\frac{B P}{B E} = \frac{B Q}{B F} = \frac{3}{4} \Rightarrow \vec{B F} = \frac{4}{3} \vec{B Q}$

Xét DAHC có P là trung điểm của AC và AH // PQ (vì cùng vuông góc với BC)

Suy ra Q là trung điểm của CH

Hay $\vec{H Q} = \frac{1}{2} \vec{H C}$ ; mà $\vec{B H} = \frac{1}{3} \vec{H C}$

Ta có: $\vec{B Q} = \vec{B H} + \vec{H Q} = \frac{1}{3} \vec{H C} + \frac{1}{2} \vec{H C} = \frac{5}{6} \vec{H C} = \frac{5}{6} . \frac{3}{4} \vec{B C} = \frac{5}{8} \vec{B C}$

Do đó: $\vec{B F} = \frac{4}{3} \vec{B Q} = \frac{5}{6} \vec{B C}$

Vậy $x = \frac{5}{6}$ .

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác ABC, D là trung điểm AB, E là trung điểm AC. Vẽ F sao cho E là trung điểm DF. Chứng minh:

a) DB = CF.

b) ∆BDC = ∆FCD.

c) DE // BC và $D E = \frac{1}{2} B C$ .

Xem đáp án » 13/07/2024 19,567

Câu 2:

Cho tứ diện ABCD. trên AC và AD lấy 2 điểm MN sao cho MN không song song với CD. Gọi O là điểm bên trong tam giác BCD.

a) Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD).

b) Tìm giao điểm của BC với (OMN).

c) Tìm giao điểm của BD với (OMN).

Xem đáp án » 12/07/2024 15,926

Câu 3:

Cho tam giác đều ABC cạnh 2a, G là trọng tâm. Khi đó độ dài $\vec{A B} - \vec{G C}$ bằng?

Xem đáp án » 13/07/2024 15,557

Câu 4:

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết BH = 4 cm, CH = 9cm. a) Tính AH, AB, AC?

b) Gọi M là trung điểm của AC. Tính góc $\hat{B M C}$ .

Xem đáp án » 13/07/2024 11,826

Câu 5:

Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD. Gọi M là một điểm trên cạnh AC sao cho $A M = \frac{1}{2} M C$ . Gọi O là giao điểm của BM và AD. Chứng minh rằng:

a, O là trung điểm của AD.

b, $O M = \frac{1}{4} B M$ .

Xem đáp án » 13/07/2024 8,614

Câu 6:

Cho tứ giác lồi ABCD với hai cặp cạnh đối không song song và điểm S không nằm trong mặt phẳng chứa tứ giác. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (SAB) và (SCD); (SAC) và (SBD); (SAD) và (SBC).

Xem đáp án » 12/07/2024 8,385

Câu 7:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC:

a) Chứng minh: AB² + CH²= AC² + BH².

b) Trên AB lấy E, trên AC lấy điểm F. Chứng minh: EF < BC.

c) Biết AB = 6cm; AC = 8cm. Tính AH, BH, CH.

Xem đáp án » 13/07/2024 7,791

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho $\vec{B H} = \frac{1}{3} \vec{H C}$ . Điểm M di động nằm trên BC sao cho $\vec{B M} = x \vec{B C}$ . Tìm x sao cho độ dài của $\vec{M A} + \vec{G C}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho tam giác ABC, D là trung điểm AB, E là trung điểm AC. Vẽ F sao cho E là trung điểm DF. Chứng minh:

a) DB = CF.

b) ∆BDC = ∆FCD.

c) DE // BC và $D E = \frac{1}{2} B C$ .

Cho tứ diện ABCD. trên AC và AD lấy 2 điểm MN sao cho MN không song song với CD. Gọi O là điểm bên trong tam giác BCD.

a) Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD).

b) Tìm giao điểm của BC với (OMN).

c) Tìm giao điểm của BD với (OMN).

Cho tam giác đều ABC cạnh 2a, G là trọng tâm. Khi đó độ dài $\vec{A B} - \vec{G C}$ bằng?

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết BH = 4 cm, CH = 9cm. a) Tính AH, AB, AC?

b) Gọi M là trung điểm của AC. Tính góc $\hat{B M C}$ .

Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD. Gọi M là một điểm trên cạnh AC sao cho $A M = \frac{1}{2} M C$ . Gọi O là giao điểm của BM và AD. Chứng minh rằng:

a, O là trung điểm của AD.

b, $O M = \frac{1}{4} B M$ .

Cho tứ giác lồi ABCD với hai cặp cạnh đối không song song và điểm S không nằm trong mặt phẳng chứa tứ giác. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (SAB) và (SCD); (SAC) và (SBD); (SAD) và (SBC).

Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC:

a) Chứng minh: AB² + CH²= AC² + BH².

b) Trên AB lấy E, trên AC lấy điểm F. Chứng minh: EF < BC.

c) Biết AB = 6cm; AC = 8cm. Tính AH, BH, CH.

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho BH→=13HC→. Điểm M di động nằm trên BC sao cho BM→=xBC→. Tìm x sao cho độ dài của MA→+GC→ đạt giá trị nhỏ nhất.

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho tam giác ABC, D là trung điểm AB, E là trung điểm AC. Vẽ F sao cho E là trung điểm DF. Chứng minh: a) DB = CF. b) ∆BDC = ∆FCD. c) DE // BC và DE=12BC.

Cho tứ diện ABCD. trên AC và AD lấy 2 điểm MN sao cho MN không song song với CD. Gọi O là điểm bên trong tam giác BCD. a) Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD). b) Tìm giao điểm của BC với (OMN). c) Tìm giao điểm của BD với (OMN).

Cho tam giác đều ABC cạnh 2a, G là trọng tâm. Khi đó độ dài AB→−GC→ bằng?

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết BH = 4 cm, CH = 9cm. a) Tính AH, AB, AC? b) Gọi M là trung điểm của AC. Tính góc BMC^.

Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD. Gọi M là một điểm trên cạnh AC sao cho AM=12MC. Gọi O là giao điểm của BM và AD. Chứng minh rằng: a, O là trung điểm của AD. b, OM=14BM.

Cho tứ giác lồi ABCD với hai cặp cạnh đối không song song và điểm S không nằm trong mặt phẳng chứa tứ giác. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (SAB) và (SCD); (SAC) và (SBD); (SAD) và (SBC).

Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC: a) Chứng minh: AB2 + CH2 = AC2 + BH2. b) Trên AB lấy E, trên AC lấy điểm F. Chứng minh: EF < BC. c) Biết AB = 6cm; AC = 8cm. Tính AH, BH, CH.

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho $\vec{B H} = \frac{1}{3} \vec{H C}$ . Điểm M di động nằm trên BC sao cho $\vec{B M} = x \vec{B C}$ . Tìm x sao cho độ dài của $\vec{M A} + \vec{G C}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho tam giác ABC, D là trung điểm AB, E là trung điểm AC. Vẽ F sao cho E là trung điểm DF. Chứng minh:

a) DB = CF.

b) ∆BDC = ∆FCD.

c) DE // BC và $D E = \frac{1}{2} B C$ .

Cho tứ diện ABCD. trên AC và AD lấy 2 điểm MN sao cho MN không song song với CD. Gọi O là điểm bên trong tam giác BCD.

a) Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD).

b) Tìm giao điểm của BC với (OMN).

c) Tìm giao điểm của BD với (OMN).

Cho tam giác đều ABC cạnh 2a, G là trọng tâm. Khi đó độ dài $\vec{A B} - \vec{G C}$ bằng?

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết BH = 4 cm, CH = 9cm. a) Tính AH, AB, AC?

b) Gọi M là trung điểm của AC. Tính góc $\hat{B M C}$ .

Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD. Gọi M là một điểm trên cạnh AC sao cho $A M = \frac{1}{2} M C$ . Gọi O là giao điểm của BM và AD. Chứng minh rằng:

a, O là trung điểm của AD.

b, $O M = \frac{1}{4} B M$ .

Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC:

a) Chứng minh: AB² + CH²= AC² + BH².

b) Trên AB lấy E, trên AC lấy điểm F. Chứng minh: EF < BC.

c) Biết AB = 6cm; AC = 8cm. Tính AH, BH, CH.