Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho BH→=13HC→. Điểm M di động nằm trên BC sao cho BM→=xBC→. Tìm x sao cho độ dài của MA→+GC→ đạt giá trị nhỏ nhất.

Dựng hình bình hành AGCE Ta có: MA→+GC→=MA→+AE→=ME→ Kẻ EF ⊥ BC (F ∈ BC) Khi đó MA→+GC→=ME→=ME≥EF Do đó MA→+GC→ đạt giá trị nhỏ nhất khi M ≡ F Gọi P là trung điểm của AC, Q là hình chiếu vuông góc của P lên BC Vì AGCE là hình bình hành, P là trung điểm của AC Suy ra P là trung điểm của GE Do đó GP=PE=12GE Vì G là trọng tâm tam giác ABC, BP là trung tuyến Suy ra BG=23BP,GP=13BP Ta có: BE = BP + PE Hay BE=BP+13BP=43BP Xét ∆BPQ và ∆BEF có FBE^ là góc chung; BQP^=BFE^=90° Suy ra: ∆BPQ ∽ ∆BEF (g.g) Do đó BPBE=BQBF=34⇒BF→=43BQ→ Xét DAHC có P là trung điểm của AC và AH // PQ (vì cùng vuông góc với BC) Suy ra Q là trung điểm của CH Hay HQ→=12HC→; mà BH→=13HC→ Ta có: BQ→=BH→+HQ→=13HC→+12HC→=56HC→=56.34BC→=58BC→ Do đó: BF→=43BQ→=56BC→ Vậy x=56.

Câu hỏi:

19/08/2025 891

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho $\vec{B H} = \frac{1}{3} \vec{H C}$ . Điểm M di động nằm trên BC sao cho $\vec{B M} = x \vec{B C}$ . Tìm x sao cho độ dài của $\vec{M A} + \vec{G C}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho (ảnh 1)

Dựng hình bình hành AGCE

Ta có: $\vec{M A} + \vec{G C} = \vec{M A} + \vec{A E} = \vec{M E}$

Kẻ EF ⊥ BC (F ∈ BC)

Khi đó $|\vec{M A} + \vec{G C}| = |\vec{M E}| = M E \geq E F$

Do đó $|\vec{M A} + \vec{G C}|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi M ≡ F

Gọi P là trung điểm của AC, Q là hình chiếu vuông góc của P lên BC

Vì AGCE là hình bình hành, P là trung điểm của AC

Suy ra P là trung điểm của GE

Do đó $G P = P E = \frac{1}{2} G E$

Vì G là trọng tâm tam giác ABC, BP là trung tuyến

Suy ra $B G = \frac{2}{3} B P, G P = \frac{1}{3} B P$

Ta có: BE = BP + PE

Hay $B E = B P + \frac{1}{3} B P = \frac{4}{3} B P$

Xét ∆BPQ và ∆BEF có

$\hat{F B E}$ là góc chung;

$\hat{B Q P} = \hat{B F E} = 90 °$

Suy ra: ∆BPQ ∽ ∆BEF (g.g)

Do đó $\frac{B P}{B E} = \frac{B Q}{B F} = \frac{3}{4} \Rightarrow \vec{B F} = \frac{4}{3} \vec{B Q}$

Xét DAHC có P là trung điểm của AC và AH // PQ (vì cùng vuông góc với BC)

Suy ra Q là trung điểm của CH

Hay $\vec{H Q} = \frac{1}{2} \vec{H C}$ ; mà $\vec{B H} = \frac{1}{3} \vec{H C}$

Ta có: $\vec{B Q} = \vec{B H} + \vec{H Q} = \frac{1}{3} \vec{H C} + \frac{1}{2} \vec{H C} = \frac{5}{6} \vec{H C} = \frac{5}{6} . \frac{3}{4} \vec{B C} = \frac{5}{8} \vec{B C}$

Do đó: $\vec{B F} = \frac{4}{3} \vec{B Q} = \frac{5}{6} \vec{B C}$

Vậy $x = \frac{5}{6}$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tứ diện ABCD. trên AC và AD lấy 2 điểm MN sao cho MN không song song với CD. Gọi O là điểm bên trong tam giác BCD.

a) Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD).

b) Tìm giao điểm của BC với (OMN).

c) Tìm giao điểm của BD với (OMN).

Xem đáp án

Lời giải

Cho tứ diện ABCD. trên AC và AD lấy 2 điểm MN sao cho MN không song song với CD. (ảnh 1)

a) Trong mp(ACD) gọi I là giao điểm của NM và CD.

Khi đó OI = (OMN) ∩ (BCD)

b) Trong mp(BCD) gọi H, K là giao điểm OI với BC và BD

K, H ∈ OI nên K, H ∈ (OMN)

Vậy H = BC ∩ (OMN)

c) K, H ∈ OI nên K, H ∈ (OMN)

Nên K = BD ∩ (OMN).

Câu 2

Cho tam giác ABC, D là trung điểm AB, E là trung điểm AC. Vẽ F sao cho E là trung điểm DF. Chứng minh:

a) DB = CF.

b) ∆BDC = ∆FCD.

c) DE // BC và $D E = \frac{1}{2} B C$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC, D là trung điểm AB, E là trung điểm AC. Vẽ F sao cho E là trung điểm DF (ảnh 1)

a) Xét tam giác AED và CEF có:

EA = EC

$\hat{A E D} = \hat{C E F}$ (đối đỉnh)

ED = EF

⇒ ∆AED = ∆CEF (c.g.c)

⇒ DA = CF

Mà DA = DB nên DB = CF

b) ∆AED = ∆CEF nên: $\hat{A} = \hat{E C F}$

Suy ra: AB // CF

⇒ $\hat{B D C} = \hat{D C F}$ (so le trong)

Xét tam giác BDC và FCD có:

DC chung

$\hat{B D C} = \hat{D C F}$

BD = CF

⇒ ∆BDC = ∆FCD (c.g.c)

c) ∆BDC = ∆FCD nên $\hat{D C B} = \hat{C D F}$

Suy ra: DE // BC (2 góc so le trong bằng nhau)

Lại có BC = DF = 2DE

Nên: $D E = \frac{1}{2} B C$ .

Câu 3