7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 84)

Ta có: $\sin \hat{A C B} = \frac{A B}{B C} = \frac{A B}{\sqrt{A B^{2} + A C^{2}}} = \frac{A B}{\sqrt{A B^{2} + {(\frac{3 A B}{2})}^{2}}} = \frac{2 \sqrt{13}}{13} A B$

$\tan \hat{A C B} = \frac{A B}{A C} = \frac{\frac{2}{3} A C}{A C} = \frac{2}{3}$

Câu 2/93

Cho tam giác ABC ( AB > BC) có AB + BC = 11cm, $\hat{B} = 60 °$ . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là $r = \frac{2}{\sqrt{3}}$ cm. Tính đường cao AH của tam giác ABC.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC ( AB > BC) có AB + BC = 11cm, . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là cm. Tính đường cao AH của tam giác ABC. (ảnh 1)

Cho tam giác ABC ( AB > BC) có AB + BC = 11cm, . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là cm. Tính đường cao AH của tam giác ABC. (ảnh 2)

Đặt AB = c, AC = b, BC = a

Ta có: $\cos \hat{B} = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} = \frac{11^{2} - 2 a c - b^{2}}{2 a c}$

⇔ $\frac{1}{2} = \frac{11^{2} - 2 a c - b^{2}}{2 a c}$

⇔ ac = 11² – 2ac – b²

⇔ 3ac = 11² – b² (1)

Lại có: $r = \frac{2 S_{A B C}}{a + b + c} = \frac{2. \frac{1}{2} . a . c . \sin \hat{B}}{11 + b} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} a c}{11 + b}$

⇔ $\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} a c}{11 + b}$

⇔ $\frac{4}{3} (11 + b) = a c (2)$

Từ (1) và (2): 4(11 + b) = (11 + b)(11 – b)

⇔ (11 + b)(4 – 11 + b) = 0

⇔ b = 7 (vì b > 0)

Suy ra: ac = 24

Mà a + c = 11

⇒ $[\begin{array}{l} \{\begin{cases} a = 3 \\ c = 8 \end{cases} \\ \{\begin{cases} a = 8 \\ c = 3 \end{cases} \end{array}$

Suy ra: $S_{A B C} = \frac{1}{2} (a + b + c) . r = \frac{1}{2} . (11 + 7) . \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}}$

Lại có: $S_{A B C} = \frac{1}{2} . A H . B C \Rightarrow A H = \frac{2 S_{A B C}}{B C}$

Nếu a = 8 thì $A H = \frac{2. \frac{18}{\sqrt{3}}}{8} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Nếu a = 3 thì $A H = \frac{2. \frac{18}{\sqrt{3}}}{3} = 4 \sqrt{3}$

Câu 3/93

Cho C = 5 + 5² + … + 5²⁰. Chứng minh rằng C chia hết cho 5, 6, 13.

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có C = 5 + 5² + … + 5²⁰

= 5(1 + 5 + 5² + ... + 5¹⁹) ⋮ 5

Vậy C ⋮ 5.

b) Ta có C = 5 + 5² + … + 5²⁰

= (5 + 5²) + 5²(5 + 5²) + ... + 5¹⁸(5 + 5²)

= 30 + 5².30 + ... + 5¹⁸.30

= 30(1 + 52 + ... + 518)

= 5.6.(1 + 52 + ... + 518) ⋮ 6

Vậy C ⋮ 6.

c) Ta có C = (5 + 5² + 5³ + 5⁴) + (5⁵ + 5⁶ + 5⁷ + 5⁸) +... + (5¹⁷ + 5¹⁸ + 5¹⁹ + 5²⁰)

= (5 + 5² + 5³ + 5⁴) + 5⁴(5 + 5² + 5³ + 5⁴) + ... + 5¹⁶(5 + 5² + 5³ + 5⁴)

= 780 + 5⁴.780 + .... + 5¹⁶.780

= 780(1 + 5⁴ + ... + 5¹⁶)

= 13.60.(1 + 5⁴ + ... + 5¹⁶) ⋮ 13

Vậy C ⋮ 13.

Câu 4/93

Cho x + y = 12 và xy = 32. Tính x⁴ + y⁴.

Xem đáp án

Lời giải

x + y = 12

⇔ (x + y)² = 144

⇔ x² + 2xy + y² = 144

⇔ x² + y² = 144 – 2xy

⇔ x² + y² = 144 – 2.32 = 80

Bình phương 2 vế:

(x² + y²)² = 80²

⇔ x⁴ + y⁴ + 2x²y² = 6400

⇔ x⁴ + y⁴ = 6400 - 2(xy)²

⇔ x⁴ + y⁴ = 6400 – 2.32²

⇔ x⁴ + y⁴ = 4352.

Vậy x⁴ + y⁴ = 4352.

Câu 5/93

Cho dãy số 1, 2, 3, 4, ..., 199, 200; hỏi dãy số có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?

Xem đáp án

Lời giải

Tổng số hạng của dãy là:

(200 – 1) : 1 + 1 = 200 (số hạng)

Số lẻ bắt đầu từ 1 và kết thúc là 199, mỗi số lẻ cách nhau 2 đơn vị

Số các số lẻ là:

(199 – 1) : 2 + 1 = 100 (số lẻ)

Số các số chẵn là:

200 – 100 = 100 (số chẵn).

Câu 6/93

Cho hình vẽ biết : Ax // By, $\hat{x A O} = 32 °, \hat{O B y} = 122 °$ . Chứng tỏ OA vuông góc với OB.

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình vẽ biết : Ax // By, góc xAO = 32 độ, góc OBy = 122 độ. Chứng tỏ OA vuông góc với OB. (ảnh 2)

Theo giả thiết: Ax // By; $\hat{x A O} = 32 °, \hat{O B y} = 122 °$

Kẻ tia Oz song song với Ax song song với By

⇒ $\hat{O B y} + \hat{B O z} = 180 °$ ( vì là 2 góc trong cùng phía )

⇒ $\hat{B O z} = 180 ° - \hat{O B y} = 180 ° - 122 ° = 58 °$

Mà ta có Ax // Oz

⇒ $\hat{A O z} = \hat{x A O} = 32 °$ ( vì là 2 góc so le trong bằng nhau )

⇒ $\hat{A O B} = \hat{A O z} + \hat{B O z} = 32 ° + 58 ° = 90 °$

⇒ $\hat{A O B}$ là góc vuông

⇒ OA vuông góc với OB.

Câu 7/93

Hình thang ABCD (AB//CD) có AB = 4cm; MN = 6cm với M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Khi đó độ dài cạnh CD là?

Xem đáp án

Lời giải

Hình thang ABCD (AB//CD) có AB = 4cm; MN = 6cm với M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Khi đó độ dài cạnh CD là? (ảnh 1)

M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD nên MN là đường trung bình của hình thang ABCD

⇒ MN = (AB + CD) : 2

⇒ CD = 2MN - AB = 2.6 - 4 = 8 (cm).

Câu 8/93

Biết Ax là tia phân giác của $\hat{m A n}$ và $\hat{m A n} = 80 °$ . Tính $\hat{m A x}$

Xem đáp án

Lời giải

Biết Ax là tia phân giác của góc mAn và góc mAn = 80 độ. Tính góc mAx (ảnh 1)

Do Ax là phân giác $\hat{m A n}$ nên $\hat{m A x} = \hat{n A x} = \frac{1}{2} \hat{m A n} = \frac{1}{2} .80 ° = 40 °$

Vậy $\hat{m A x} = 40 °$

Câu 9/93