Câu hỏi:

12/07/2024 1,278

Cho đoạn thẳng AB và hai tia Ax, By vuông góc với AB ở trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB. Gọi O là trung điểm của AB. Xét góc vuông $\hat{m O n}$ quay quanh O sao cho Om cắt Ax tại C, On cắt By tại D. Chứng minh rằng:

a) CD luôn tiếp xúc với nửa đường tròn $(O; \frac{A B}{2})$

b) $A C . B D = \frac{A B^{2}}{4}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Xét góc vuông $\hat{m O n}$ quay quanh O sao cho Om cắt Ax tại C, On cắt By tại D nên $\hat{C O D} = 90 °$

Cho đoạn thẳng AB và hai tia Ax, By vuông góc với AB ở trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB. Gọi O là trung điểm của AB. (ảnh 1)

a) Kẻ OH ⊥ CD

Ta có DC = DE (chứng minh câu a)

Suy ra tam giác DCE cân ở D

Mà DO là đường cao nên DO đồng thời là phân giác của $\hat{C D E}$

Suy ra $\hat{C D E} = \hat{C D O}$

Xét ∆HOD và ∆BOD có

$\hat{D H O} = \hat{D B O} = 90 °$

OD là cạnh chung

$\hat{H} = \hat{O D B}$

Suy ra ∆HOD = ∆BOD (cạnh huyền – góc nhọn)

Do đó OH = OB, HD = BD (các cặp cạnh tương ứng)

Mà OB là bán kính của (O)

Suy ra H thuộc (O)

Lại có OH ⊥ CD nên CD là tiếp tuyến của (O)

c) Xét ∆HOC và ∆AOC có

OH = OA (= OB)

$\hat{C H O} = \hat{C A O} = 90 °$

OC là cạnh chung

Suy ra ∆HOC = ∆AOC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Do đó HC = AC

Xét tam giác COD vuông tại O có OH ⊥ CD

Theo hệ thức lượng trong tam giác có

OH² = CH . DH

Ta có: $A C . B D = C H . D H = O H^{2} = O A^{2} = {(\frac{B C}{2})}^{2} = \frac{B C^{2}}{4}$

Vậy $A C . B D = \frac{A B^{2}}{4}$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, O là giao điểm của hai đường chéo, E là giao điểm của hai đường thẳng chứa hai cạnh bên AD và BC. Chứng minh: OA = OB; OC = OD.

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, O là giao điểm của hai đường chéo, E là giao điểm của hai đường thẳng chứa hai cạnh bên AD và BC. Chứng minh: OA = OB; OC = OD. (ảnh 1)

Xét ∆ADC và ∆BCD, ta có:

AD = BC (tính chất hình thang cân)

$\hat{A D C} = \hat{B C D}$ (gt)

DC chung

Do đó: ∆ADC = ∆BCD (c.g.c) ⇒ $\hat{A C D} = \hat{B D C}$

Trong ∆OCD ta có: $\hat{A C D} = \hat{B D C}$

⇒ ∆OCD cân tại O

⇒ OC = OD (1)

AC = BD (tính chất hình thang cân)

⇒ AO + OC = BO + OD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AO = BO.

Vậy OA = OB; OC = OD.

b) Theo phần a có: OA = OB

∆ADC = ∆BCD (c.g.c)

⇒ ∆EDC cân tại E

⇒ EC = ED nên E thuộc đường trung trực CD

OC = OD nên O thuộc đường trung trực CD

E ≠ O. Vậy OE là đường trung trực của CD.

Ta có: BD= AC (tính chất hình thang cân)

⇒ EB + ED = EA + EC mà ED = EC

⇒ EB = EA nên E thuộc đường trung trực AB

OA = OB (chứng minh trên ) nên O thuộc đường trung trực của AB

E ≠ O. Vậy OE là đường trung trực của AB.

Câu 2

Cho dãy số 1, 2, 3, 4, ..., 199, 200; hỏi dãy số có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?

Xem đáp án

Lời giải

Tổng số hạng của dãy là:

(200 – 1) : 1 + 1 = 200 (số hạng)

Số lẻ bắt đầu từ 1 và kết thúc là 199, mỗi số lẻ cách nhau 2 đơn vị

Số các số lẻ là:

(199 – 1) : 2 + 1 = 100 (số lẻ)

Số các số chẵn là:

200 – 100 = 100 (số chẵn).

Câu 3