Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh a31+b1+c+b31+c1+a+c31+a1+c≥34

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: a31+b1+c+b+18+c+18≥3a31+b1+c.b+18.c+183=3a4 Tương tự: b31+c1+a+c+18+a+18≥3b31+c1+a.c+18.a+183=3b4 c31+a1+c+c+18+a+18≥3c31+a1+c.c+18.a+183=3c4 Suy ra: a31+b1+c+b31+c1+a+c31+a1+c≥34a+b+c a31+b1+c+b31+c1+a+c31+a1+c≥34abc3=34 (BĐT Cô-si) Vậy a31+b1+c+b31+c1+a+c31+a1+c≥34 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1.

Câu hỏi:

12/07/2024 284

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1.
Chứng minh $\frac{a^{3}}{(1 + b) (1 + c)} + \frac{b^{3}}{(1 + c) (1 + a)} + \frac{c^{3}}{(1 + a) (1 + c)} \geq \frac{3}{4}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$\frac{a^{3}}{(1 + b) (1 + c)} + \frac{b + 1}{8} + \frac{c + 1}{8} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{a^{3}}{(1 + b) (1 + c)} . \frac{b + 1}{8} . \frac{c + 1}{8}} = \frac{3 a}{4}$

Tương tự: $\frac{b^{3}}{(1 + c) (1 + a)} + \frac{c + 1}{8} + \frac{a + 1}{8} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{b^{3}}{(1 + c) (1 + a)} . \frac{c + 1}{8} . \frac{a + 1}{8}} = \frac{3 b}{4}$

$\frac{c^{3}}{(1 + a) (1 + c)} + \frac{c + 1}{8} + \frac{a + 1}{8} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{c^{3}}{(1 + a) (1 + c)} . \frac{c + 1}{8} . \frac{a + 1}{8}} = \frac{3 c}{4}$

Suy ra: $\frac{a^{3}}{(1 + b) (1 + c)} + \frac{b^{3}}{(1 + c) (1 + a)} + \frac{c^{3}}{(1 + a) (1 + c)} \geq \frac{3}{4} (a + b + c)$

$\frac{a^{3}}{(1 + b) (1 + c)} + \frac{b^{3}}{(1 + c) (1 + a)} + \frac{c^{3}}{(1 + a) (1 + c)} \geq \frac{3}{4} \sqrt[3]{a b c} = \frac{3}{4}$ (BĐT Cô-si)

Vậy $\frac{a^{3}}{(1 + b) (1 + c)} + \frac{b^{3}}{(1 + c) (1 + a)} + \frac{c^{3}}{(1 + a) (1 + c)} \geq \frac{3}{4}$

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, O là giao điểm của hai đường chéo, E là giao điểm của hai đường thẳng chứa hai cạnh bên AD và BC. Chứng minh: OA = OB; OC = OD.

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, O là giao điểm của hai đường chéo, E là giao điểm của hai đường thẳng chứa hai cạnh bên AD và BC. Chứng minh: OA = OB; OC = OD. (ảnh 1)

Xét ∆ADC và ∆BCD, ta có:

AD = BC (tính chất hình thang cân)

$\hat{A D C} = \hat{B C D}$ (gt)

DC chung

Do đó: ∆ADC = ∆BCD (c.g.c) ⇒ $\hat{A C D} = \hat{B D C}$

Trong ∆OCD ta có: $\hat{A C D} = \hat{B D C}$

⇒ ∆OCD cân tại O

⇒ OC = OD (1)

AC = BD (tính chất hình thang cân)

⇒ AO + OC = BO + OD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AO = BO.

Vậy OA = OB; OC = OD.

b) Theo phần a có: OA = OB

∆ADC = ∆BCD (c.g.c)

⇒ ∆EDC cân tại E

⇒ EC = ED nên E thuộc đường trung trực CD

OC = OD nên O thuộc đường trung trực CD

E ≠ O. Vậy OE là đường trung trực của CD.

Ta có: BD= AC (tính chất hình thang cân)

⇒ EB + ED = EA + EC mà ED = EC

⇒ EB = EA nên E thuộc đường trung trực AB

OA = OB (chứng minh trên ) nên O thuộc đường trung trực của AB

E ≠ O. Vậy OE là đường trung trực của AB.

Câu 2

Cho dãy số 1, 2, 3, 4, ..., 199, 200; hỏi dãy số có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?

Xem đáp án

Lời giải

Tổng số hạng của dãy là:

(200 – 1) : 1 + 1 = 200 (số hạng)

Số lẻ bắt đầu từ 1 và kết thúc là 199, mỗi số lẻ cách nhau 2 đơn vị

Số các số lẻ là:

(199 – 1) : 2 + 1 = 100 (số lẻ)

Số các số chẵn là:

200 – 100 = 100 (số chẵn).

Câu 3