Ta có: $B=\frac{1}{2016}+\frac{2}{2015}+\frac{3}{2014}+\mathrm{...}+\frac{2015}{2}+\frac{2016}{1}$

$=\left(\frac{1}{2016}+1\right)+\left(\frac{2}{2015}+1\right)+\left(\frac{3}{2014}+1\right)+\mathrm{...}+\left(\frac{2015}{2}+1\right)+1$

$=\frac{2017}{2016}+\frac{2017}{2015}+\mathrm{...}+\frac{2017}{3}+\frac{2017}{2}+\frac{2017}{2017}$

$=2017\left(\frac{1}{2016}+\frac{1}{2015}+\mathrm{...}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2017}\right)$

Khi đó $\frac{B}{A}=\frac{2017\left(\frac{1}{2016}+\frac{1}{2015}+\mathrm{...}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2017}\right)}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\mathrm{...}+\frac{1}{2017}}=2017$

1 lít dầu cân nặng số kg là:

      27 : 36 = 0,75 (kg)

Số lít dầu trong can nặng số kg là:

      10,5 – 1,5 = 9 (kg)

Can đó chứa số lít dầu là:

      9 : 0,75 = 12 (l)

Vậy trong can chứa 12 lít dầu.

Sau một tháng được tiền lãi là 104 000 đồng thì cần gửi số tiền là:

104 000 : 0,65 × 100 = 16 000 000 (đồng) 

Vậy cần gửi 16 000 000 đồng để sau một tháng được 104 000 đồng tiền lãi.

a) • Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O) nên $\widehat{ABO}=\widehat{AC\text{O}}=90°$

Xét tứ giác ABOC có $\widehat{ABO}+\widehat{AC\text{O}}=90°+90°=180°$ , mà hai góc này ở vị trí đối nhau

Suy ra tứ giác ABOC nội tiếp

Vậy A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

• Xét (O) có hai tiếp tuyến AB, AC cắt nhau tại A nên AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra A nằm trên đường trung trực của BC

Mà OB = OC nên O cũng nằm trên đường trung trực của BC

Do đó AO là trung trực của BC nên AO ⊥ BC tại H.

b) Vì C thuộc đường tròn đường kính BD nên $\widehat{BCD}=90°$

Suy ra tam giác BCD vuông tại C, do đó CD ⊥ BC

Mà AO ⊥ BC, suy ra CD // AO

Gọi giao điểm của AD và OE là I.

Xét tứ giác OICA có $\widehat{OIA}=\widehat{OCA}=90°$ , mà hai góc này cùng nhìn cạnh OA của tứ giác

Suy ra tứ giác OICA nội tiếp

Do đó $\widehat{I\text{O}C}=\widehat{IAC}$  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung IC)

Ta có $\widehat{OC\text{E}}=\widehat{OCD}+\widehat{DCE}=\widehat{OC\text{D}}+90°$

             $\widehat{DCA}=\widehat{OCD}+\widehat{OCA}=\widehat{OC\text{D}}+90°$

Suy ra $\widehat{OC\text{E}}=\widehat{DCA}$

Xét tam giác OCE và tam giác ACD có

 $\widehat{OC\text{E}}=\widehat{DCA}$(chứng minh trên);

 $\widehat{I\text{O}C}=\widehat{IAC}$(chứng minh trên);

Suy ra $\Delta OC\text{E}\backsim \Delta AC\text{D}$  (g.g)

Do đó $\frac{OC}{AC}=\frac{CE}{C\text{D}}$  (tỉ số đồng dạng)

Suy ra OC . CD = AC . CE = AB . CE

Vậy CD . CO = BA . CE.

Ta có: 3^y – 80 = 2^x

⇔ 3^y = 2^x + 80 (1)

• Với x = 0 thì (1) Û 3^y = 2⁰ + 80

⇔ 3^y = 1 + 80

⇔ 3^y = 81

⇔ 3^y = 3⁴

⇔ y = 4

• Với x ≠ 0 thì 2^x là số chẵn

Suy ra 2^x + 80 là số chẵn

Mà 3^y là số lẻ

Suy ra phương trình vô nghiệm.

Vậy x = 0, y = 4.

Đổi  $\frac{3}{5}$giờ = 36 phút

Trong 36 phút vòi đó chảy được là:

27,5 × 36 = 990 (lít)

Vậy trong $\frac{3}{5}$  giờ vòi đó chảy được 990 lít nước.

Số 0 có chia hết cho các số 2; 5; 7; 2017; 2018 vì 0 chia cho số nào (khác 0) cũng bằng 0.

Ước của 0 là tất cả các số nguyên khác 0.

Ta có: $\text{A}=\frac{\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\mathrm{...}+\frac{1}{97}+\frac{1}{99}\right).\frac{1}{5}}{\frac{2}{1.99}+\frac{2}{3.97}+\mathrm{...}+\frac{2}{49.51}}$

$\text{A}=\frac{\left(1+\frac{1}{99}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{97}\right)+\mathrm{...}+\left(\frac{1}{49}+\frac{1}{51}\right)}{5\left(\frac{2}{1.99}+\frac{2}{3.97}+\mathrm{...}+\frac{2}{49.51}\right)}$

$\text{A}=\frac{\frac{100}{99.1}+\frac{100}{3.97}+\mathrm{...}+\frac{100}{49.51}}{10\left(\frac{1}{1.99}+\frac{1}{3.97}+\mathrm{...}+\frac{1}{49.51}\right)}$

$\text{A}=\frac{100\left(\frac{1}{99.1}+\frac{1}{3.97}+\mathrm{...}+\frac{1}{49.51}\right)}{10\left(\frac{1}{1.99}+\frac{1}{3.97}+\mathrm{...}+\frac{1}{49.51}\right)}$

$\text{A}=\frac{100}{10}=10.$

• Gọi M’ là giao điểm của IN và AB. Ta cần chứng minh M’ ≡ M.

Trong DIDN có AM’ // DN nên theo hệ quả định lí Thalès ta có: $\frac{A{M}^{\text{'}}}{DN}=\frac{I{M}^{\text{'}}}{IN}$

Trong DICN có BM’ // CN nên theo hệ quả định lí Thalès ta có: $\frac{B{M}^{\text{'}}}{CN}=\frac{I{M}^{\text{'}}}{IN}$

Suy ra $\frac{A{M}^{\text{'}}}{DN}=\frac{B{M}^{\text{'}}}{CN}\left(=\frac{I{M}^{\text{'}}}{IN}\right)$

Mà DN = CN nên AM’ = BM’ hay M’ là trung điểm của AB.

Do đó M’ ≡ M nên I, M, N thẳng hàng (*)

• Qua O kẻ đường thẳng song song với CD cắt ID và IC lần lượt tại H và K.

Trong DADC có HO // DC nên theo hệ quả định lí Thalès ta có:  $\frac{HO}{DC}=\frac{AO}{AC}$(1)

Trong DBDC có KO // DC nên theo hệ quả định lí Thalès ta có: $\frac{KO}{DC}=\frac{BO}{BD}$   (2)

Trong DODC có AB // DC nên theo hệ quả định lí Thalès ta có: $\frac{AO}{OC}=\frac{BO}{OD}$

Suy ra $\frac{AO}{AO+OC}=\frac{BO}{BO+OD}$  hay  $\frac{AO}{AC}=\frac{BO}{BD}$(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\frac{HO}{DC}=\frac{KO}{DC}$ , do đó HO = KO.

Chứng minh tương tự như trên ta có I, O, N thẳng hàng (**)

Từ (*) và (**) ta có I, M, O, N thẳng hàng.

Ta có $\frac{5}{100}=0,05$

Vậy $7\frac{5}{100}=7+0,05=7,05$ .

15 lít dầu nặng là: 

0,8 × 15 = 12 (kg)

Can dầu nặng là: 

12 + 1,5 = 13,5 (kg)

Vậy can dầu đó nặng 13,5 kg.

Gọi số phải tìm là x

Theo đề bài ta có

x × 3 – 14,6 = 30,4

x × 3 = 30,4 + 14,6

x × 3 = 45

x = 45 : 3

x = 15

Vậy ta chọn đáp án C.

Khi bỏ quên dấu phẩy của số thập phân và cộng như số tự nhiên như đề bài thì số thập phân đó gấp lên 100 lần. Vậy tổng sai hơn tổng đúng 99 lần số phải tìm

Số thập phân đó là:

(575 – 18,62 ) : 99 = 5,62

Số tự nhiên đó là:

18,62 – 5,62 = 13

Vậy hai số cần tìm là 5,62 và 13.

Các số tự nhiên có 2 chữ số mà chữ số hàng chục gấp hai lần chữ số hàng đơn vị là: 84, 63, 42, 21

Vậy tập hợp cần tìm là B = {84; 63; 42; 21}. 

72,9 × 99 + 72 + 0,9

= 72,9 × 99 + (72 + 0,9)

= 72,9 × 99 + 72,9

= 72,9 × 99 + 72,9 × 1

= 72,9 × (99 + 1)

= 72,9 × 100

= 7290.

Lời giải

Giả sử điểm A(x₀; y₀) là điểm thuộc (P) và có tung độ gấp đôi hoành độ.

Suy ra y₀ = 2x₀.

Do điểm thuộc đồ thị (P) nên ta có $y_0=2x_0^2$

Khi đó $2x_0^2=2x_0$

$\iff 2x_0^2-2x_0=0$

$\iff 2x_0\left(x_0-1\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}2{\text{x}}_0=0\\ x_0-1=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}{\text{x}}_0=0\\ x_0=1\end{array}\right.$

Với x₀ = 0 thì y₀ = 0.

Với x₀ = 1 thì y₀ = 2.

Vậy có 2 điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài là (0; 0) và (1; 2).

Ta có: $\frac{ab+1}{b}=\frac{bc+1}{c}=\frac{ca+1}{a}$

$\iff a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}$

$\iff \left\{\begin{array}{l}a-b=\frac{1}{c}-\frac{1}{b}\\ b-c=\frac{1}{a}-\frac{1}{c}\\ c-a=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}a-b=\frac{b-c}{bc}\\ b-c=\frac{c-a}{ac}\\ c-a=\frac{a-b}{ab}\end{array}\right.$

$\iff \left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=\frac{b-c}{bc}.\frac{c-a}{ac}.\frac{a-b}{ab}$

$\iff \left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)-\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{a^2{b}^2{c}^2}=0$

$\iff \left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(1-\frac{1}{a^2{b}^2{c}^2}\right)=0$

$\iff \left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=0$ (vì abc ≠ 1, abc ≠ –1)

$\iff \left[\begin{array}{l}a-b=0\\ b-c=0\\ c-a=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}a=b\\ b=c\\ c=a\end{array}\right.$

• Nếu a = b thì $\frac{1}{a}-\frac{1}{c}=0$ . Do đó a = c, suy ra a = b = c;

• Nếu b = c thì $\frac{1}{c}-\frac{1}{b}=0$ . Do đó b = c, suy ra a = b = c;

• Nếu c = a thì $\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=0$  . Do đó b = a, suy ra a = b = c.

Vậy a = b = c.

Ta có: $\frac{ab+1}{b}=\frac{bc+1}{c}=\frac{ca+1}{a}$

$\iff a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}$

$\iff \left\{\begin{array}{l}a-b=\frac{1}{c}-\frac{1}{b}\\ b-c=\frac{1}{a}-\frac{1}{c}\\ c-a=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}a-b=\frac{b-c}{bc}\\ b-c=\frac{c-a}{ac}\\ c-a=\frac{a-b}{ab}\end{array}\right.$

$\iff \left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=\frac{b-c}{bc}.\frac{c-a}{ac}.\frac{a-b}{ab}$

$\iff \left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)-\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{a^2{b}^2{c}^2}=0$

$\iff \left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(1-\frac{1}{a^2{b}^2{c}^2}\right)=0$

$\iff \left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=0$ (vì abc ≠ 1, abc ≠ –1)

$\iff \left[\begin{array}{l}a-b=0\\ b-c=0\\ c-a=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}a=b\\ b=c\\ c=a\end{array}\right.$

• Nếu a = b thì $\frac{1}{a}-\frac{1}{c}=0$ . Do đó a = c, suy ra a = b = c;

• Nếu b = c thì $\frac{1}{c}-\frac{1}{b}=0$ . Do đó b = c, suy ra a = b = c;

• Nếu c = a thì $\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=0$  . Do đó b = a, suy ra a = b = c.

Vậy a = b = c.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có:

$\frac{6\text{x}-3\text{z}}{5}=\frac{4y-6x}{7}=\frac{3\text{z}-4y}{9}=\frac{6\text{x}-3\text{z}+4y-6\text{x}+3\text{z}-4y}{5+7+9}=0$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{6\text{x}-3z}{5}=0\\ \frac{4y-6x}{7}=0\\ \frac{3\text{z}-4y}{9}=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}6\text{x}-3z=0\\ 4y-6x=0\\ 3\text{z}-4y=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}6\text{x}=3\text{z}\\ 4y=6\text{x}\\ 3\text{z}=4y\end{array}\right.\iff 6\text{x}=4y=3\text{z}$

$\iff \frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}\iff \frac{2x}{4}=\frac{3y}{9}=\frac{5z}{20}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có:

$\frac{2x}{4}=\frac{3y}{9}=\frac{5z}{20}=\frac{2\text{x}+3y-5\text{z}}{4+9-20}=\frac{-21}{-7}=3$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{2x}{4}=3\\ \frac{3y}{9}=3\\ \frac{5z}{20}=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2\text{x}=12\\ 3y=27\\ 5\text{z}=60\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=6\\ y=9\\ z=12\end{array}\right.$

Vậy x = 6, y = 9, z = 12.

Ta có: x + y = 1 Þ y = 1 – x

Þ x² + y² = x² + (1 – x)² = x² + 1 – 2x + x² = 2x² – 2x + 1

               $=2\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}=2{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{2}$ 

Với x ≥ 0 ta có ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2\ge 0$  nên $2{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{2}\ge \frac{1}{2}$

Do đó $x^2+y^2\ge \frac{1}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2=0\iff x-\frac{1}{2}=0\iff x=\frac{1}{2}$

Với $x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất của x² + y² là $\frac{1}{2}$  khi $x=y=\frac{1}{2}$ .

Đáp án đúng là: A

Đặt t = xy

Từ giả thiết ta có

$\left\{\begin{array}{l}t=xy\ge 0\\ t=xy\le \frac{{\left(\text{x}+y\right)}^2}{4}\end{array}\right.\iff 0\le t\le 1$

Xét hàm số S = f(t) = t² – 4t, 0 ≤ t ≤ 1

f’(t) = 2t – 4

f’(t) = 0 ⇔ t = 2 ∉ [0; 1]

Ta có f(0) = 0, f(1) = – 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của S là –3 khi xy = 1.

Ta có P(0) = a . 0³ + b . 0² + c . 0 + d = d

Vì P(0) lẻ nên d lẻ

Ta có P(1) = a . 1³ + b . 1² + c . 1 + d = a + b + c + d

Vì P(0) lẻ và d lẻ nên a + b + c chẵn

Suy ra a, b, c có thể nhận giá trị lẻ, lẻ, chẵn hoặc chẵn, chẵn, chẵn

Giả sử P(x) có nghiệm nguyên m. Khi đó

P(m) = am³ + bm² + cm + d

• Nếu m chẵn thì am³ + bm² + cm + d lẻ

Vì d lẻ nên P(m) ≠ 0

• Nếu m lẻ thì am³ + bm² + cm chẵn (vì a, b, c có thể nhận giá trị lẻ, lẻ, chẵn hoặc chẵn, chẵn, chẵn)

Vì d lẻ nên P(m) = am³ + bm² + cm + d lẻ

Suy ra P(m) ≠ 0

Do đó x = m không phải là nghiệm của P(x)

Vậy P(x) không thể có nghiệm là số nguyên.

 $\frac{1}{2}$giờ = 0,5 giờ

1 và $\frac{1}{2}$  giờ = 1,5 giờ

Ô tô đó đi trong 1 giờ được:

21 : 0,5 = 42 (km)

Ô tô đó đi 1,5 giờ được:

1,5 × 42 = 63 (km)

Vậy ô tô đó đi trong 1 và $\frac{1}{2}$  giờ được 63 km.

Vì đồ thị của hàm số y = ax + b song song với đường thẳng y = 2x + 3 nên $\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b\ne 3\end{array}\right.$

Khi đó ta có hàm số y = 2x + b (b ≠ 3). 

Vì đồ thị của hàm số y = 2x + b cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là –2 nên điểm A(–2; 0) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + b

Suy ra 0 = 2 . (–2) + b

Hay b = 4

Vậy hàm số cần tìm là y = 2x + 4.

Số km đường tàu 6 ngày đầu sửa được là:

2,72 × 6 = 16,32 (km)

Số km đường tàu 5 ngày sau sửa được là:

2,17 × 5 = 10,85 (km)

Số ngày đội công nhân đó sửa đường tàu là:

6 + 5 = 11 (ngày)

Trung bình mỗi ngày sửa được là:

(10,85 + 16,32) : 11= 2,47 (km).

Cần số người để làm xong việc đó trong 1 ngày là

10 × 8 = 80 (người)

Cần số người để làm xong việc đó trong 5 ngày là

80 : 5 = 16 (người)

Vậy vần 16 người để làm xong công việc trong 5 ngày.

Ta có 1 giờ = 60 phút

Nên 0,25 giờ = 0,25 × 60 = 15 phút

Vậy 3,25 giờ = (3 + 0,25) giờ = 3 giờ 15 phút.

Ta có $0,3=\frac{3}{10}$ . 

Đáp án đúng là: C

Trước hết ta tìm số số tự nhiên có 4 chữ số có 1 chữ số lặp lại đúng 3 lần.

– Chữ số 0 lặp lại 3 lần ta có 9 số thỏa mãn là 1000; 2000; 3000; …; 9000.

– Chữ số 1 lặp lại 3 lần:

+ Chữ số còn lại là 0 ta có 3 số thỏa mãn 1011; 1101; 1110.

+ Chữ số còn lại khác 0 và 1 ta có 8 . 4 = 32 số

 Tương tự với trường hợp chữ số 2; 3; 4; …; 9 lặp lại 3 lần. Tóm lại, số số tự nhiên có 4 chữ số, trong đó có 1 chữ số lặp lại đúng 3 lần là: 9 + 9 . (3 + 32) = 324.

Vậy số số tự nhiên có 4 chữ số, trong đó không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần là: 9000 – 324 = 8676.

Vậy ta chọn đáp án C.

– Để chuyển hỗn số thành phân số, ta thực hiện như sau:

+ Tử số bằng phần nguyên nhân với mẫu số rồi cộng với tử số ở phần phân số.

+ Mẫu số bằng mẫu số ở phần phân số.

– Để chuyển phân số thành hỗn số, ta thực hiện như sau:

+ Tính phép chia tử số cho mẫu số.

+ Giữ nguyên mẫu số của phần phân số.

+ Tử số bằng số dư trong phép chia tử số cho mẫu số.

+ Phần nguyên bằng thương của phép chia tử số cho mẫu số.

+ Chú ý: để chuyển được phân số thành hỗn số, phân số ban đầu phải lớn hơn 1, tức là tử số lớn hơn mẫu số.

$\text{A}=\frac{3n+2}{n-1}=\frac{3n-3+5}{n-1}=\frac{3\left(n-1\right)}{n-1}+\frac{5}{n-1}=3+\frac{5}{n-1}$

A đạt giá trị nguyên khi $\frac{5}{n-1}$  đạt giá trị nguyên

⇔ 5 ⋮ (n – 1)

⇔ (n – 1) ∈ Ư(5) = {1; 5; –1; –5}

⇔ n ∈ {2; 6; 0; –4}

Vậy n ∈ {2; 6; 0; –4} thì A là số nguyên.

Ta thấy rằng khi nhân với 11 thì ta được hai tổng riêng bằng nhau và bằng thừa số đầu tiên

Mà tổng của 2 tổng riêng là 680

Suy ra mỗi tổng riêng là 680 : 2 = 340

Do đó thừa số đầu tiên là 340

Vậy phép tính đúng là 340 x 11 = 3 740.

a) Xét tứ giác ABCD có M là trung điểm hai đường chéo AC và BD

Suy ra ABCD là hình bình hành.

b) Tứ giác ABCD là hình bình hành nên BA // CD và BA = CD

Mà AB = AN, suy ra AN = CD

Xét tứ giác ACDN có AN = CD, AN // CD (chứng minh trên)

Suy ra ANDC là hình bình hành

Lại có  $\widehat{NAC}=90°$(do N đối xứng B qua A) nên ANDC là hình chữ nhật.

c) Xét tam giác BNI có AK // NI và A là trung điểm của BN

Suy ra K là trung điểm của BI hay BK = KI

Xét tam giác AKC có MI // AK và M là trung điểm của MI

Suy ra I là trung điểm của KC hay KI = IC

Ta có KC = KI + IC = 2KI = 2KB

Vậy CK = 2BK.

d) Vì EB // MN nên  (hai góc so le trong)

Xét tam giác EBA và MNA có:

$\widehat{EAB}=\widehat{MAN}\left(=90°\right)$;

AB = NA (giả thiết);

 (chứng minh trên)

Do đó ∆EBA = ∆MNA (g.c.g)

Suy ra EB = MN (hai cạnh tương ứng)

Mà EB // MN

Suy ra EBMN là hình bình hành

Lại có hai đường chéo BN và EM vuông góc với nhau nên EBMN là hình thoi.

Để hình thoi EBMN là hình vuông thì BN = EM

Mà BN = 2AB, EM = 2AM

Suy ra AB = AM

Lại có AC = 2AM

Do đó AC = 2AB

Vậy tam giác ABC có AC = 2AB thì EBMN là hình vuông.

Coi cả công việc là 1 đơn vị nguyên

1 giờ cả hai người làm được:

  $1:12=\frac{1}{12}$    (công việc)

Thời gian người thứ nhất làm xong công việc là

     $10:\frac{2}{3}=15$  (giờ)

1 giờ người thứ nhất làm được

 $1:15=\frac{1}{15}$      (công việc)

1 giờ người thứ hai làm được 

   $\frac{1}{12}-\frac{1}{15}=\frac{1}{60}$    (công việc)

Người thứ hai làm $\frac{1}{3}$  công việc trong

     $\frac{1}{3}:\frac{1}{60}=20$  (giờ)

Vậy người thứ hai làm $\frac{1}{3}$  công việc trong 20 giờ.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

P = a⁵ – a⁴ – 18a³ + 9a² – 5a + 2017 + (a⁴ – 40a² + 4) : a²

P = (a⁵ – 5a⁴ + 2a³) + (4a⁴ – 20a³ + 8a²) + (a² – 5a + 2) + 2015 + (a⁴ – 40a² + 4) : a²

P = a³(a² – 5a + 2) + 4a²(a² – 5a + 2) + (a² – 5a + 2) + 2015 + (a⁴ – 40a² + 4) : a²

P = a³ . 0 + 4a² . 0 + 0 + 2015 + (a⁴ – 40a² + 4) : a²

^{$P=2015+\frac{a^4-40{\text{a}}^2+4}{a^2}$}

^{$P=\frac{a^4-40{\text{a}}^2+4+2015{\text{a}}^2}{a^2}=\frac{a^4+1975a^2+4}{a^2}$}

Vì a² – 5a + 2 = 0

⇔ a² – 5a = –2

⇔ (a² – 5a)² = 4

⇔ a⁴ – 10a³ + 25a² = 4

Nên ta có:

Vậy ta chọn đap án C.

Số học sinh thích đúng 2 môn bóng đá và bơi: 14 – 10 = 4 (học sinh)

Số học sinh thích đúng hai môn bơi và bóng chuyền: 13 – 10 = 3 (học sinh)

Số học sinh thích đúng hai môn bóng đá và bóng chuyền: 15 – 10 = 5 (học sinh)

Số học sinh chỉ thích bóng đá: 20 – (4 + 10 + 5) = 1 (học sinh)

Số học sinh chỉ thích bơi: 17 – (4 + 10 + 3) = 0 (học sinh)

Số học sinh chỉ thích bóng chuyền: 36 – (5 + 10 + 3) = 18 (học sinh)

Suy ra số học sinh của lớp là: 1 + 0 + 18 + 4 + 10 + 5 + 3 + 12 = 53 (học sinh)

Vậy lớp đó có 53 học sinh.

Tổng 3 lớp có số cây là: 220 × 3 = 660 (cây)

Nếu lớp 5A trồng bớt đi 30 cây, lớp 5B trồng thêm 80 cây, lớp 5C trồng thêm 40 thì tổng số cây 3 lớp là: 660 – 30 + 80 + 40 = 750

Lúc đó mỗi lớp có số cây là:

750 : 3 = 250 (cây)

Lớp 5A có số cây là: 250 + 30 = 280 (cây)

Lớp 5B có số cây là: 250 – 80 = 170 (cây)

Lớp 5C có số cây là: 250 – 40 = 210 (cây).

Mỗi kg đường có giá là:

38 500 : 5 = 7 700 (đồng)

Mua 3,5 kg đường cùng loại có giá là:

7 700 × 3,5 = 26 950 (đồng)

Mua 3,5 kg đường cùng loại phải trả ít hơn số tiền là:

38 500 – 26 950 = 11 550 (đồng)

Vậy mua 3,5 kg đường cùng loại phải trả ít hơn 11 550 đồng.

Đổi 32,4 km/giờ = 9 m/giây

54 m/giờ = 0,015 m/giây

Hiệu vận tộc là:

9 – 0,015 = 8,985 (m/giây)

Chiều dài của tàu hỏa là:

8,985 × 25 = 224,625 (m)

Vậy tàu hỏa dài 224,625 m.

Gọi số học sinh khối 6 của trường đó là a (học sinh) (a ∈ ℕ*, 300 < a < 400)

Theo đề bài ta có a : 12; a : 15; a :18 đều dư 9

Suy ra a – 9 chia hết cho 12; 15; 18 và 291 < a – 9 < 391

Suy ra a – 9 thuộc BC(12, 15, 18)

Ta có:

12 = 2² . 3

15 = 3 . 5

18 = 2 . 3²

BCNN(12, 15, 18) = 2² . 3² . 5 = 180.

BC(12, 15, 18) = B(180) = {0; 180; 360; 540; ...}

Vì 291 < a – 9 < 391

Suy ra a – 9 = 360

Do đó a = 360 + 9 = 369

Vậy số học sinh khối 6 của trường đó là 369 học sinh.

0,8 × 96 + 1,6 × 2

= 0,8 × 96 + 0,8 × 2 × 2

= 0,8 × 96 + 0,8 × 4

= 0,8 × (96 + 4 )

= 0,8 × 100

= 80.

Gọi ba số cần tìm là: a – 1, a, a + 1 

Ta có: 

(a – 1)a + 50 = a(a + 1)

⇔ a² – a + 50 = a² + a

⇔ 2a = 50

⇔ a = 25

Suy ra

a – 1 = 25 – 1 = 24 

a + 1 = 25 + 1 = 26 

Vậy ba số cần tìm là 24, 25, 26.

Ta có

Theo bất đẳng thức Cô – si ta có

$\frac{x^2}{y-1}+4\left(y-1\right)\ge 2\sqrt{\frac{x^2}{y-1}.4\left(y-1\right)}=4\text{x}$

$\frac{y^2}{x-1}+4\left(x-1\right)\ge 2\sqrt{\frac{y^2}{x-1}.4\left(x-1\right)}=4y$

Suy ra $\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}+4\left(y-1\right)+4\left(\text{x}-1\right)\ge 4\text{x + 4y}$

$\iff \frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge 8$

Hay A ≥ 8

Dấu “ = ” xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}x=2\left(y-1\right)\\ y=2\left(x-1\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x-2y=-2\\ y-2\text{x}=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=2\end{array}\right.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng khi x = y = 2.

a)

Ta có H và D đối xứng nhau qua AB nên AD = AH; BH = BD và AB là tia phân giác của $\widehat{DAH}$

Suy ra $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}=\frac{1}{2}\widehat{DAH}$

Ta có H  và E đối xứng nhau qua AC nên AH = AE; CH = CE và AC là tia phân giác của $\widehat{E\text{AH}}$

Suy ra $\widehat{A_3}=\widehat{A_4}=\frac{1}{2}\widehat{EAH}$

Vì AD = AH, AH = AE nên AD = AE

Ta có $\widehat{DAE}=\widehat{DAH}+\widehat{HA\text{E}}=2\widehat{A_2}+2\widehat{A_3}=2\left(\widehat{A_2}+\widehat{A_3}\right)=2.45°=90°$

Xét ΔADB và ΔAHB có 

AD = AH (chứng minh trên);

DB = HB (chứng minh trên);

AB chung

Do đó ΔADB = ΔAHB (c.c.c)

Suy ra  $\widehat{A\text{D}B}=\widehat{AHB}$(hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AHB}=90°$  nên $\widehat{A\text{D}B}=90°$

Tương tự ta cũng có $\widehat{AEC}=90°$

Xét tứ giác ADKE có  $\widehat{A\text{D}B}=\widehat{DA\text{E}}=\widehat{A\text{E}C}=90°$

Do đó ADKE là hình chữ nhật

Mà AD = AE (chứng minh trên)

Suy ra ADKE là hình vuông.

b) Do ADKE là hình vuông nên AK là phân giác của $\widehat{DAE}$

Để A, H, K thẳng hàng thì H nằm trên tia phân giác AK của $\widehat{DAE}$

Suy ra $\widehat{DAH}=\widehat{EAH}=45°$  nên ${\widehat{A}}_1={\widehat{A}}_2={\widehat{A}}_3={\widehat{A}}_4$

Khi đó AH là phân giác của

Để tam giác ABC có AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên là tam giác cân tại A.

Vậy để A, H, K thẳng hàng thì tam giác ABC cần thêm điều kiện cân tại A.

a)

Vì E, D thuộc đường tròn (O) đường kính BC nên tam giác BCE, BDC nội tiếp đường tròn

Suy ra tam giác BCE vuông tại E, tam giác BCD vuông tại D

Hay BE ⊥ EC; BD ⊥ DC

Xét tam giác BCA có BE, CE là hai đường cao cắt nhau tại H

Suy ra H là trực tâm

Do đó AH ⊥ BC hay AI ⊥ BC

Xét tứ giác BEHI có $\widehat{BEH}+\widehat{BIH}=90°+90°=180°$ , mà hai góc này là hai góc đối của tứ giác

Suy ra tứ giác BEHI nội tiếp

Do đó $\widehat{HEI}=\widehat{HBI}$   (hai góc nội tiếp chắn cung HI)

Ta có:  $\widehat{DEC}=\widehat{DBC}$(hai góc nội tiếp chắn cung DC trong (O)).

Mà $\widehat{HEI}=\widehat{DBC}$  (chứng minh trên)

Suy ra $\widehat{DEC}=\widehat{HEI}$

Do đó EC là phân giác của $\widehat{IE\text{D}}$  .

b) Xét tứ giác AEIC có $\widehat{A\text{E}C}=\widehat{AIC}=90°$ , mà hai góc này cùng nhìn cạnh AC

Suy ra tứ giác AEIC nội tiếp

Do đó $\widehat{CAE}+\widehat{A\text{E}I}=180°$

Mà $\widehat{BEI}+\widehat{A\text{E}I}=180°$   (hai góc kề bù)

Suy ra $\widehat{CAE}=\widehat{\text{BE}I}$

Xét tam giác BEI và tam giác BCA có

 $\widehat{ABC}$là góc chung;

$\widehat{CAB}=\widehat{\text{BE}I}$ (chứng minh trên)

Suy ra $\Delta BEI\backsim \Delta BCA$  (g.g)

Do đó $\frac{BE}{BC}=\frac{BI}{BA}$  (tỉ số đồng dạng)

Suy ra BE . BA = BC . BI.

c) Vì tứ giác BEHI nội tiếp nên $\widehat{EBH}=\widehat{EIH}$  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EH)

Xét tứ giác CDHI có $\widehat{C\text{D}H}+\widehat{CIH}=90°+90°=180°$

Suy ra tứ giác CDHI nội tiếp

Do đó $\widehat{DIH}=\widehat{HC\text{D}}$  (hai góc nội tiếp chắn cung HD)

Ta có $\widehat{EI\text{D}}=\widehat{EIH}+\widehat{DIH}=\widehat{EBH}+\widehat{DCH}=2\widehat{EB\text{D}}=\widehat{EO\text{D}}$

Xét tứ giác OIED có $\widehat{EI\text{D}}=\widehat{EO\text{D}}$  và hai góc này cùng nhìn cạnh ED

Suy ra tứ giác OIED nội tiếp.

d) Xét tam giác CDB và tam giác CIA có

$\widehat{C\text{D}B}=\widehat{CIA}\left(=90°\right)$;

Chung góc $\widehat{BCA}$

Suy ra $\Delta C\text{D}B\backsim \Delta CIA$ (g.g)

Do đó $\frac{C\text{D}}{CI}=\frac{BC}{CA}$  (tỉ số đồng dạng)

Suy ra CD . CA = CI . CB

Mà BE . BA = BC . BI (chứng minh câu b)

Suy ra CD . CA + BE . BA = CI . CB + BC . BI

                                            = BC(BI + CI) = BC² = 16² = 256

Vậy BE . BA + CD . CA = 256 cm.

Ta có 2x + 3y = 4

⇔ (2x + 3y)² = 16

Áp dụng bất đẳng thức Co – si ta có

(2x)² + (3y)² ≥ 2 . 2x . 3y

⇔ (2x + 3y)² ≥ 2 . 2x . 3y + 2 . 2x . 3y

⇔ (2x + 3y)² ≥ 24xy

⇔ 16 ≥ 24xy

⇔ $\text{x}y\le \frac{16}{24}$

⇔ $P\le \frac{2}{3}$

Dấu “ = ” xảy ra khi

Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{2}{3}$  khi $\text{x}=1,y=\frac{2}{3}$ .

Các số lẻ có 2 chữ số giống nhau là : 11, 33, 55, 77, 99

Ta thấy mỗi số hơn kém nhau 22 đơn vị

Số lượng số hạng là:

(99 – 11) : 22 + 1 = 5 (số)

Tống của tất cả các số lẻ có 2 chữ số giống nhau là:

(99 + 11) × 5 : 2  = 275 

Tổng của tất cả các số lẻ có 2 chữ số giống nhau được gấp lên 9 lần là:

275 × 9 = 2 475.

Có 5 số tự nhiên lẻ mà nó có 2 chữ số giống nhau là: 11, 33, 55, 77, 99.

Lời giải

Ta có 627 m² = 0,0627 ha.

Một người ăn hết trong số ngày là:

36 × 50 = 1800 (ngày)

60 người ăn hết cần số ngày là:

1800 : 60 = 30 (ngày)

Vậy 60 người ăn đủ trong 30 ngày.

Biểu thức A có (100 – 1): 1 + 1 = 100 số hạng

Nhóm hai số hạng thành 1 nhóm ra được 100 : 2 = 50 nhóm

A = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + ... + 99 – 100

A = (1 – 2) + (3 – 4) + (5 – 6) + ... + (99 – 100)

A = (–1) + (–1) + (–1) + ... + (–1)

A = (–1) . 50 = –50

Vậy A = –50.

S = 1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 + 10 – … + 2 018 – 2 019 – 2 020 + 2 021

S = 1 + (2 – 3 – 4 + 5) + (6 – 7 – 8 + 9) + … + (2 018 – 2 019 – 2 020 + 2 021)

S = 1 + [(5 + 2) – (3 + 4)] + [(6 + 9) – (7 + 8)] + … + [(2 018 + 2 021) – (2 019 + 2 020)]

S = 1 + (7 – 7) + (15 – 15) + … + (4 039 – 4 039)

S = 1 + 0 + 0 + … + 0

S = 1.

Vậy S = 1.

Xét hiệu: (a³ + b³ + c³) – (a + b + c)

= (a³ – a) + (b³ – b) + (c³ – c)

= a(a² – 1) + b(b² – 1) + c(c² – 1)

= a(a – 1)(a + 1) + b(b – 1)(b + 1) + c(c – 1)(c + 1)

Dễ thấy mỗi tích trên chia hết cho 6 vì là tích 3 số nguyên liên tiếp

Suy ra (a³ + b³ + c³) – (a + b + c) chia hết cho 6

Mà a + b + c = 2 112 ⋮ 6

Suy ra  a³ + b³ + c³ ⋮ 6

Vậy a³ + b³ + c³ chia hết cho 6.