Cho abc ≠ 1 hoặc abc ≠ –1 và ab+1b=bc+1c=ca+1a . Chứng minh rằng a = b = c.

Ta có: ab+1b=bc+1c=ca+1a ⇔a+1b=b+1c=c+1a ⇔a−b=1c−1bb−c=1a−1cc−a=1b−1a ⇔a−b=b−cbcb−c=c−aacc−a=a−bab ⇔a−bb−cc−a=b−cbc.c−aac.a−bab ⇔a−bb−cc−a−a−bb−cc−aa2b2c2=0 ⇔a−bb−cc−a1−1a2b2c2=0 ⇔a−bb−cc−a=0 (vì abc ≠ 1, abc ≠ –1) ⇔a−b=0b−c=0c−a=0 ⇔a=bb=cc=a • Nếu a = b thì 1a−1c=0 . Do đó a = c, suy ra a = b = c; • Nếu b = c thì 1c−1b=0 . Do đó b = c, suy ra a = b = c; • Nếu c = a thì 1b−1a=0 . Do đó b = a, suy ra a = b = c. Vậy a = b = c.

Câu hỏi:

15/06/2023 550

Cho abc ≠ 1 hoặc abc ≠ –1 và $\frac{a b + 1}{b} = \frac{b c + 1}{c} = \frac{c a + 1}{a}$ .

Chứng minh rằng a = b = c.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).

Mua bộ đề Hà Nội Mua bộ đề Tp. Hồ Chí Minh Mua đề Bách Khoa

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $\frac{a b + 1}{b} = \frac{b c + 1}{c} = \frac{c a + 1}{a}$

$\Leftrightarrow a + \frac{1}{b} = b + \frac{1}{c} = c + \frac{1}{a}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a - b = \frac{1}{c} - \frac{1}{b} \\ b - c = \frac{1}{a} - \frac{1}{c} \\ c - a = \frac{1}{b} - \frac{1}{a} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a - b = \frac{b - c}{b c} \\ b - c = \frac{c - a}{a c} \\ c - a = \frac{a - b}{a b} \end{cases}$

$\Leftrightarrow (a - b) (b - c) (c - a) = \frac{b - c}{b c} . \frac{c - a}{a c} . \frac{a - b}{a b}$

$\Leftrightarrow (a - b) (b - c) (c - a) - \frac{(a - b) (b - c) (c - a)}{a^{2} b^{2} c^{2}} = 0$

$\Leftrightarrow (a - b) (b - c) (c - a) (1 - \frac{1}{a^{2} b^{2} c^{2}}) = 0$

$\Leftrightarrow (a - b) (b - c) (c - a) = 0$ (vì abc ≠ 1, abc ≠ –1)

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} a - b = 0 \\ b - c = 0 \\ c - a = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = b \\ b = c \\ c = a \end{array}$

• Nếu a = b thì $\frac{1}{a} - \frac{1}{c} = 0$ . Do đó a = c, suy ra a = b = c;

• Nếu b = c thì $\frac{1}{c} - \frac{1}{b} = 0$ . Do đó b = c, suy ra a = b = c;

• Nếu c = a thì $\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = 0$ . Do đó b = a, suy ra a = b = c.

Vậy a = b = c.

NHÀ SÁCH VIETJACK

Xem Thêm Kho Sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

Đã bán 152

₫29.000

Hà Nội

Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn)

Đã bán 114

₫150.000

Hà Nội

(Chương trình mới) - Sách lớp 10, 11 Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa 3 bộ sách KNTT, CTST, CD

Đã bán 132

₫85.000

Hà Nội

Sách - Trọng tâm kiến thức lớp 6,7,8 dùng cho 3 sách Kết nối, Cánh diều, Chân trời sáng tạo VietJack

Đã bán 47

₫80.000

Hà Nội

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Kết quả điều tra ở một lớp học cho thấy: Có 20 học sinh thích bóng đá, 17 học sinh thích bơi, 36 học sinh thích bóng chuyền, 14 học sinh thích đá bóng và bơi, 13 học sinh thích bơi và bóng chuyền, 15 học sinh thích bóng đá và bóng chuyền, 10 học sinh thích cả ba môn, 12 học sinh không thích môn nào. Tính xem lớp học đó có bao nhiêu học sinh?

Xem đáp án » 15/06/2023 4,653

Câu 2:

Cho (P): y = 2x². Tìm các điểm nằm trên đồ thị (P) có tung độ gấp đôi hoành độ.

Xem đáp án » 15/06/2023 4,091

Câu 3:

Một bếp ăn chuẩn bị số gạo cho 36 người ăn trong 50 ngày. Nhưng thực tế có 60 người ăn, hỏi số gạo đã chuẩn bị đủ dùng trong bao nhiêu ngày? (Mức ăn của mỗi người như nhau).

Xem đáp án » 15/06/2023 3,868

Câu 4:

Tính A = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + ... + 99 – 100.

Xem đáp án » 15/06/2023 2,791

Câu 5:

Số 0 có chia hết cho 2; 5; 7; 2017; 2018 không? Em có nhận xét gì về ước của 0?

Xem đáp án » 15/06/2023 2,479

Câu 6:

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần?

A. 8769;

B. 324;

C. 8676;

D. 8696.

Xem đáp án » 15/06/2023 2,283

Câu 7:

Hai người làm chung một công việc sau 12 giờ thì hoàn thành. Nếu người thứ nhất làm một mình $\frac{2}{3}$ công việc thì mất 10 giờ. Vậy người thứ hai làm $\frac{1}{3}$ công việc thì mất bao nhiêu giờ?

Xem đáp án » 15/06/2023 1,874

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Đăng ký gói thi VIP

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.