7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 30)

A = $\frac{x^2+3x+1}{x+2}=\frac{\left(x+1\right)\left(x+2\right)-1}{x+2}=x+1-\frac{1}{x+2}$

Để A có giá trị là số nguyên thì 1 chia hết cho x + 2.

Suy ra x + 2 = 1 hoặc x + 2 = –1.

Hay x = –1 hoặc x = –3.

Vậy x ∈ {–1; –3}.

Ta có:

x – y = 7 ⇔ x = y + 7

Lại có: xy = 60

⇔ (y + 7)y – 60 = 0

⇔ y² + 7y – 60 = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}y=5\\ y=-12\end{array}\right.$

Vì y > 0 nên y = 5.

Với y = 5 thì x = 5 + 7 = 12.

Vậy (x; y) = (12; 5).

3ⁿ + 4ⁿ = 5ⁿ

Xét n = 2, ta có: 3² + 4² = 5² (đúng).

Xét n = 3, ta có: 3³ + 4³ ≠ 5³

Xét n > 3, n có dạng n = 3k; 3k + 1; 3k + 2.

+ Nếu n = 3k ta có: 3ⁿ + 4ⁿ = 5ⁿ

⇔ 3^3k + 4^3k = 5^3k

⇔ 64^k = 125^k – 27^k

Ta thấy 125^k ⋮ 3 và 27^k ⋮ 3 nên 125^k – 27^k ⋮ 3

Mà 64^k không chia hết cho 3. Suy ra vô lí.

Vậy trường hợp này vô nghiệm.

+ Nếu n = 3k + 1 ta có:

3^3k+1 + 4^3k+1 = 5^3k+1

3 . 27^k + 4 . 64^k = 5 . 125^k

Ta thấy 5. 125^k ⋮ 3 và 3 . 27^k ⋮ 3

Mà 64^k không chia hết cho 3. Suy ra 4 . 64^k không chia hết cho 3.

Vậy trường hợp này vô nghiệm.

+ Nếu n = 3k + 2 ta có:

3^3k+2 + 4^3k+2 = 5^3k+2

9 . 27^k + 16 . 64^k = 25 . 125^k

Chứng minh tương tự như trên, trường hợp này cũng vô nghiệm.

Vậy n = 2.

x⁴ + 2x³ + x²  < x⁴ + 2x³ + 2x² + x + 3 < x⁴ + 2x³ + 5x² + 4x + 4

(x² + x)² < x⁴ + 2x³ + 2x² + x + 3 < (x² + x + 2)²

Suy ra: x⁴ + 2x³ + 2x² + x + 3 = (x² + x + 1)²

⇔ x⁴ + 2x³ + 2x² + x + 3 = x⁴ + 2x³ + 3x² + 2x + 1

⇔ x² + x – 2 = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-2\end{array}\right.$

Vậy x = 1 hoặc x = –2.

Sử dụng định lí: r⁵ – (r – 1)⁵ = 5r⁴ – 10r³ + 10r² – 5r + 1.

Với r = 1 đến r = n, ta có:

1⁵ – 0⁵ = 5 . 1⁴ – 10 . 1³ + 10 . 1² – 5 . 1 + 1

2⁵ – 1⁵ = 5 . 2⁴ – 10 . 2³ + 10 . 2² – 5 . 2 + 1

3⁵ – 2⁵ = 5 . 3⁴ – 10 . 3³ + 10 . 3² – 5 . 3 + 1

...

n⁵ – (n – 1)⁵ = 5n⁴ – 10n³ + 10n² – 5n + 1

Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được:

n⁵ = 5(1⁴ + 2⁴ + ... + n⁴) – 10(1³ + 2³ + ... + n³) + 10(1² + 2² + ... + n²) – 5(1 + 2 + ... + n) + n

⇔ n⁵ = 5S – 10 . ${\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)}^2$  + 10 . $\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$  $-\frac{5\left(n+1\right)n}{2}$+ n 

⇒ 5S = n⁵ + 10 . ${\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)}^2$   – 10 .  $\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$+ $\frac{5\left(n+1\right)n}{2}-n$

          = $n.\frac{6n^4+15\left(n^3+2n^2+n\right)-10\left(2n^2+3n+1\right)+15\left(n+1\right)-6}{6}$

          =  $\frac{n}{6}\left(6n^4+15n^3+10n^2-1\right)$

          = $\frac{n}{6}\left(n+1\right)\left(6n^3+4n^2+n-1\right)$

          =  $\frac{n}{6}\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\left(3n^2+3n-1\right)$

Biểu diễn tập hợp bằng một vòng tròn kín, mỗi phần tử của tập hợp được biểu bằng bởi một chấm trong vòng tròn kín, còn phần tử không thuộc tập hợp biểu diễn bởi một chấm bên ngoài vòng tròn kín (biểu diễn như hình dưới đây). Cách biễu diễn tập hợp như trên gọi là biểu đồ ven.

$\left|x-\frac{1}{2}\right|=3$

⇔ $\left[\begin{array}{l}x-\frac{1}{2}=3\\ x-\frac{1}{2}=-3\end{array}\right.$

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=\frac{7}{2}\\ x=-\frac{5}{2}\end{array}\right.$ .

Vậy x = $\frac{7}{2}$   hoặc x = $-\frac{5}{2}$  .

x² + x – 20

= x² – 4x + 5x – 20

= x(x – 4) + 5(x – 4)

= (x – 4)(x + 5).