Tính tổng S = 14 + 24 + … + n4.

Sử dụng định lí: r5 – (r – 1)5 = 5r4 – 10r3 + 10r2 – 5r + 1. Với r = 1 đến r = n, ta có: 15 – 05 = 5 . 14 – 10 . 13 + 10 . 12 – 5 . 1 + 1 25 – 15 = 5 . 24 – 10 . 23 + 10 . 22 – 5 . 2 + 1 35 – 25 = 5 . 34 – 10 . 33 + 10 . 32 – 5 . 3 + 1 ... n5 – (n – 1)5 = 5n4 – 10n3 + 10n2 – 5n + 1 Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được: n5 = 5(14 + 24 + ... + n4) – 10(13 + 23 + ... + n3) + 10(12 + 22 + ... + n2) – 5(1 + 2 + ... + n) + n ⇔ n5 = 5S – 10 . nn+122 + 10 . nn+12n+16 −5n+1n2+ n ⇒ 5S = n5 + 10 . nn+122 – 10 . nn+12n+16+ 5n+1n2−n = n.6n4+15n3+2n2+n−102n2+3n+1+15n+1−66 = n66n4+15n3+10n2−1 = n6n+16n3+4n2+n−1 = n6n+12n+13n2+3n−1 ⇒S=n30n+12n+13n2+3n−1.

Câu hỏi:

30/06/2023 708

Tính tổng S = 1⁴ + 2⁴ + … + n⁴.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Sử dụng định lí: r⁵ – (r – 1)⁵ = 5r⁴ – 10r³ + 10r² – 5r + 1.

Với r = 1 đến r = n, ta có:

1⁵– 0⁵ = 5 . 1⁴ – 10 . 1³ + 10 . 1² – 5 . 1 + 1

2⁵– 1⁵ = 5 . 2⁴ – 10 . 2³ + 10 . 2² – 5 . 2 + 1

3⁵– 2⁵ = 5 . 3⁴ – 10 . 3³ + 10 . 3² – 5 . 3 + 1

...

n⁵ – (n – 1)⁵ = 5n⁴ – 10n³ + 10n² – 5n + 1

Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được:

n⁵ = 5(1⁴ + 2⁴ + ... + n⁴) – 10(1³ + 2³ + ... + n³) + 10(1² + 2² + ... + n²) – 5(1 + 2 + ... + n) + n

⇔ n⁵ = 5S – 10 . ${(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2}$ + 10 . $\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ $- \frac{5 (n + 1) n}{2}$ + n

⇒ 5S = n⁵ + 10 . ${(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2}$ – 10 . $\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ + $\frac{5 (n + 1) n}{2} - n$

= $n . \frac{6 n^{4} + 15 (n^{3} + 2 n^{2} + n) - 10 (2 n^{2} + 3 n + 1) + 15 (n + 1) - 6}{6}$

= $\frac{n}{6} (6 n^{4} + 15 n^{3} + 10 n^{2} - 1)$

= $\frac{n}{6} (n + 1) (6 n^{3} + 4 n^{2} + n - 1)$

= $\frac{n}{6} (n + 1) (2 n + 1) (3 n^{2} + 3 n - 1)$

\Rightarrow S = \frac{n}{30} (n + 1) (2 n + 1) (3 n^{2} + 3 n - 1)

Nhà sách vietjack

Xem thêm kho sách »

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Có bao nhiêu số có 2 chữ số đều chia hết cho 3?

Xem đáp án » 30/06/2023 7,932

Câu 2:

Chứng minh rằng: . $\frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{5^{2}} + ... \frac{1}{100^{2}} < \frac{1}{3}$

Xem đáp án » 30/06/2023 6,595

Câu 3:

Cho a + b + c = 0 và a² + b² + c² = 14. Tính a⁴ + b⁴ + c⁴.

Xem đáp án » 30/06/2023 6,432

Câu 4:

Tìm x sao cho x⁴ + 2x³ + 2x² + x + 3 là số chính phương.

Xem đáp án » 30/06/2023 4,338

Câu 5:

Tính tổng S = 1 – 2 + 3 – 4 +... + 99 – 100.

Xem đáp án » 30/06/2023 4,176

Câu 6:

Cho 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể viết được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số sao cho mỗi số trong đó xuất hiện đúng 1 lần.

Xem đáp án » 30/06/2023 3,623

Câu 7:

Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất biết khi chia cho 11; 17; 29 thì số dư lần lượt là 6; 12; 24.

Xem đáp án » 30/06/2023 3,501

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Tính tổng S = 14 + 24 + … + n4.

Bình luận

Có bao nhiêu số có 2 chữ số đều chia hết cho 3?

Chứng minh rằng: .142+152+...11002<13

Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính a4 + b4 + c4.

Tìm x sao cho x4 + 2x3 + 2x2 + x + 3 là số chính phương.

Tính tổng S = 1 – 2 + 3 – 4 +... + 99 – 100.

Cho 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể viết được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số sao cho mỗi số trong đó xuất hiện đúng 1 lần.

Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất biết khi chia cho 11; 17; 29 thì số dư lần lượt là 6; 12; 24.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Tính tổng S = 1⁴ + 2⁴ + … + n⁴.

Chứng minh rằng: . $\frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{5^{2}} + ... \frac{1}{100^{2}} < \frac{1}{3}$

Cho a + b + c = 0 và a² + b² + c² = 14. Tính a⁴ + b⁴ + c⁴.

Tìm x sao cho x⁴ + 2x³ + 2x² + x + 3 là số chính phương.