Tính tổng S = 1⁴ + 2⁴ + … + n⁴.

Sử dụng định lí: r⁵ – (r – 1)⁵ = 5r⁴ – 10r³ + 10r² – 5r + 1.

Với r = 1 đến r = n, ta có:

1⁵ – 0⁵ = 5 . 1⁴ – 10 . 1³ + 10 . 1² – 5 . 1 + 1

2⁵ – 1⁵ = 5 . 2⁴ – 10 . 2³ + 10 . 2² – 5 . 2 + 1

3⁵ – 2⁵ = 5 . 3⁴ – 10 . 3³ + 10 . 3² – 5 . 3 + 1

...

n⁵ – (n – 1)⁵ = 5n⁴ – 10n³ + 10n² – 5n + 1

Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được:

n⁵ = 5(1⁴ + 2⁴ + ... + n⁴) – 10(1³ + 2³ + ... + n³) + 10(1² + 2² + ... + n²) – 5(1 + 2 + ... + n) + n

⇔ n⁵ = 5S – 10 . ${\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)}^2$  + 10 . $\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$  $-\frac{5\left(n+1\right)n}{2}$+ n 

⇒ 5S = n⁵ + 10 . ${\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)}^2$   – 10 .  $\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$+ $\frac{5\left(n+1\right)n}{2}-n$

          = $n.\frac{6n^4+15\left(n^3+2n^2+n\right)-10\left(2n^2+3n+1\right)+15\left(n+1\right)-6}{6}$

          =  $\frac{n}{6}\left(6n^4+15n^3+10n^2-1\right)$

          = $\frac{n}{6}\left(n+1\right)\left(6n^3+4n^2+n-1\right)$

          =  $\frac{n}{6}\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\left(3n^2+3n-1\right)$