7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 61)

Đáp án đúng là: C

Ta có:  $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$

 $\iff 2\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{MB}$

 $\iff 2\overrightarrow{AM}+3\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{AM}$

 $\iff 5\overrightarrow{AM}=3\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}\right)$

 $\iff 5\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AB}$

$\iff \overrightarrow{AM}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$

Vậy  $\overrightarrow{AM}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có:  $2\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$

$\iff 2\overrightarrow{MA}-3\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{0}$

$\iff 2\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$

$\iff -\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AB}$

 Vậy M nằm trên tia AB và AB = 3AB.

Đặt:  $\left\{\begin{array}{l}x=b+c-a\\ y=a+c-b\\ z=a+b-c\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x+y=\left(b+c-a\right)+\left(a+c-b\right)=2c\\ y+z=\left(a+c-b\right)+\left(a+b-c\right)=2a\\ x+z=\left(b+c-a\right)+\left(a+b-c\right)=2b\end{array}\right.$

Khi đó  $A=\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}$

 $\Rightarrow 2A=\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c}$

 $=\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}$

 $=\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}$

 $=\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)$

Với a, b, c là ba cạnh của tam giác, thì:

$\left\{\begin{array}{l}b+c>a\\ a+c>b\\ a+b>c\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}b+c-a>0\\ a+c-b>0\\ a+b-c>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x>0\\ y>0\\ z>0\end{array}\right.$

Áp dụng BĐT Cô-si cho  $\frac{y}{x},\frac{x}{y}$ với x, y > 0 ta có:

$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\ge 2\sqrt{\frac{y}{x}.\frac{x}{y}}=2$

Chứng minh tương tự như vậy, ta cũng được:

$\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\ge 2;\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\ge 2$

Do đó:

$2A=\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)\ge 2+2+2=6$

$\Rightarrow A=\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)\ge 3$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z.

Suy ra: a = b = c.

Vậy  $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge 3$ khi a = b = c.

Đặt:  $\left\{\begin{array}{l}x=a+b-c\\ y=b+c-a\\ z=c+a-b\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x+y=\left(a+b-c\right)+\left(b+c-a\right)=2b\\ y+z=\left(b+c-a\right)+\left(c+a-b\right)=2c\\ x+z=\left(a+b-c\right)+\left(c+a-b\right)=2a\end{array}\right.$

Với a, b, c là ba cạnh của tam giác, thì:

$\left\{\begin{array}{l}b+c>a\\ a+c>b\\ a+b>c\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}b+c-a>0\\ a+c-b>0\\ a+b-c>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y>0\\ z>0\\ x>0\end{array}\right.$

Khi đó  $A=\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{b+c-a}+\frac{ca}{c+a-b}$

$\Rightarrow 4A=\frac{2a.2b}{a+b-c}+\frac{2b.2c}{b+c-a}+\frac{2c.2a}{c+a-b}$

$=\frac{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{x}+\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{y}+\frac{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{z}$

$=\frac{x^2+x\left(y+z\right)+yz}{x}+\frac{y^2+y\left(z+x\right)+zx}{y}+\frac{z^2+z\left(x+y\right)+xy}{z}$

$=\frac{x\left(x+y+z\right)+yz}{x}+\frac{y\left(x+y+z\right)+zx}{y}+\frac{z\left(x+y+z\right)+xy}{z}$

$=3\left(x+y+z\right)+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}+\frac{xy}{z}$

$=3\left(x+y+z\right)+\frac{{\left(yz\right)}^2}{xyz}+\frac{{\left(zx\right)}^2}{xyz}+\frac{{\left(xy\right)}^2}{xyz}$

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

$\frac{{\left(yz\right)}^2}{xyz}+\frac{{\left(zx\right)}^2}{xyz}\ge 2\frac{\sqrt{{\left(yz\right)}^2.{\left(zx\right)}^2}}{xyz}=2\frac{z.xyz}{xyz}=2z$

$\frac{{\left(zx\right)}^2}{xyz}+\frac{{\left(xy\right)}^2}{xyz}\ge 2\frac{\sqrt{{\left(zx\right)}^2.{\left(xy\right)}^2}}{xyz}=2\frac{x.xyz}{xyz}=2x$

$\frac{{\left(xy\right)}^2}{xyz}+\frac{{\left(yz\right)}^2}{xyz}\ge 2\frac{\sqrt{{\left(xy\right)}^2.{\left(yz\right)}^2}}{xyz}=2\frac{y.xyz}{xyz}=2y$

Suy ra  $\frac{{\left(yz\right)}^2}{xyz}+\frac{{\left(zx\right)}^2}{xyz}+\frac{{\left(xy\right)}^2}{xyz}\ge \frac{2z+2x+2y}{2}=x+y+z$

Khi đó:

$4A=3\left(x+y+z\right)+\frac{{\left(yz\right)}^2}{xyz}+\frac{{\left(zx\right)}^2}{xyz}+\frac{{\left(xy\right)}^2}{xyz}\ge 3\left(x+y+z\right)+\left(x+y+z\right)$

Þ 4A ≥ 4(x + y + z)

Þ A ≥ (x + y + z) = a + b + c

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c.

Vậy  $\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{b+c-a}+\frac{ca}{c+a-b}\ge a+b+c$ khi và chỉ khi a = b = c.

Vì C, C' thuộc đường thẳng CC' nên ta có: C(c; 2c + 3) và C'(c'; 2c' + 3)

Vì B đối xứng với A qua C' nên B(2c' − 5; 4c' + 4)

Do đó  $\overrightarrow{BC}=\left(c-2c\text{'}+5;2c-4c\text{'}-1\right)$

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương  ${\overrightarrow{u}}_d=\left(1;-1\right)$

Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có:  $M\left(\frac{c+2c\text{'}-5}{2};\frac{2c+4c\text{'}+4}{2}\right)$

Từ giả thiết ta có hệ phương trình:  $\left\{\begin{array}{l}M\in d\\ \overrightarrow{BC}.{\overrightarrow{u}}_d=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{c+2c\text{'}-5}{2}+\frac{2c+4c\text{'}+7}{2}-6=0\\ \left(c-2c\text{'}+5\right)-\left(2c-4c\text{'}-1\right)=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}3c+6c\text{'}+2-12=0\\ -c+2c\text{'}+6=0\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}3c+6c\text{'}=10\\ c-2c\text{'}=6\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}c=\frac{14}{3}\\ c\text{'}=-\frac{2}{3}\end{array}\right.$

Từ đó suy ra  $B\left(-\frac{19}{3};\frac{4}{3}\right),C\left(\frac{14}{3};\frac{37}{3}\right)$.

Do M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_M=\frac{x_B+x_C}{2}\\ y_M=\frac{y_B+y_C}{2}\\ x_N=\frac{x_C+x_A}{2}\\ y_N=\frac{y_C+y_A}{2}\\ x_P=\frac{x_A+x_B}{2}\\ y_P=\frac{y_A+y_B}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_B+x_C=-5\\ y_B+y_C=-2\\ x_C+x_A=-3\\ y_C+y_A=-7\\ x_A+x_B=0\\ y_A+y_B=1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_A+x_B+x_C=\frac{\left(-5\right)+\left(-3\right)+0}{2}\\ y_A+y_B+y_C=\frac{\left(-2\right)+\left(-7\right)+1}{2}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_A+x_B+x_C=-4\\ y_A+y_B+y_C=-4\end{array}\right.$

Từ đó, tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_G=-\frac{4}{3}\\ y_G=-\frac{4}{3}\end{array}\right.$

Vậy  $G\left(-\frac{4}{3};-\frac{4}{3}\right)$.