Cho a, b, c là 3 cạnh trong tam giác. Chứng minh rằng: ab+c−a+ba+c−b+ca+b−c≥3.

Đặt: x=b+c−ay=a+c−bz=a+b−c ⇒x+y=b+c−a+a+c−b=2cy+z=a+c−b+a+b−c=2ax+z=b+c−a+a+b−c=2b Khi đó A=ab+c−a+ba+c−b+ca+b−c ⇒2A=2ab+c−a+2ba+c−b+2ca+b−c =y+zx+x+zy+x+yz =yx+zx+xy+zy+xz+yz =yx+xy+zy+yz+zx+xz Với a, b, c là ba cạnh của tam giác, thì: b+c>aa+c>ba+b>c⇒b+c−a>0a+c−b>0a+b−c>0⇒x>0y>0z>0 Áp dụng BĐT Cô-si cho yx, xy với x, y > 0 ta có: yx+xy≥2yx . xy=2 Chứng minh tương tự như vậy, ta cũng được: zy+yz≥2; zx+xz≥2 Do đó: 2A=yx+xy+zy+yz+zx+xz≥2+2+2=6 ⇒A=yx+xy+zy+yz+zx+xz≥3 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z. Suy ra: a = b = c. Vậy ab+c−a+ba+c−b+ca+b−c≥3 khi a = b = c.

Câu hỏi:

23/08/2023 237

Cho a, b, c là 3 cạnh trong tam giác. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b + c - a} + \frac{b}{a + c - b} + \frac{c}{a + b - c} \geq 3$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt: $\{\begin{cases} x = b + c - a \\ y = a + c - b \\ z = a + b - c \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x + y = (b + c - a) + (a + c - b) = 2 c \\ y + z = (a + c - b) + (a + b - c) = 2 a \\ x + z = (b + c - a) + (a + b - c) = 2 b \end{cases}$

Khi đó $A = \frac{a}{b + c - a} + \frac{b}{a + c - b} + \frac{c}{a + b - c}$

$\Rightarrow 2 A = \frac{2 a}{b + c - a} + \frac{2 b}{a + c - b} + \frac{2 c}{a + b - c}$

$= \frac{y + z}{x} + \frac{x + z}{y} + \frac{x + y}{z}$

$= \frac{y}{x} + \frac{z}{x} + \frac{x}{y} + \frac{z}{y} + \frac{x}{z} + \frac{y}{z}$

$= (\frac{y}{x} + \frac{x}{y}) + (\frac{z}{y} + \frac{y}{z}) + (\frac{z}{x} + \frac{x}{z})$

Với a, b, c là ba cạnh của tam giác, thì:

$\{\begin{cases} b + c > a \\ a + c > b \\ a + b > c \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} b + c - a > 0 \\ a + c - b > 0 \\ a + b - c > 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ y > 0 \\ z > 0 \end{cases}$

Áp dụng BĐT Cô-si cho $\frac{y}{x}, \frac{x}{y}$ với x, y > 0 ta có:

$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} \geq 2 \sqrt{\frac{y}{x} . \frac{x}{y}} = 2$

Chứng minh tương tự như vậy, ta cũng được:

$\frac{z}{y} + \frac{y}{z} \geq 2; \frac{z}{x} + \frac{x}{z} \geq 2$

Do đó:

$2 A = (\frac{y}{x} + \frac{x}{y}) + (\frac{z}{y} + \frac{y}{z}) + (\frac{z}{x} + \frac{x}{z}) \geq 2 + 2 + 2 = 6$

$\Rightarrow A = (\frac{y}{x} + \frac{x}{y}) + (\frac{z}{y} + \frac{y}{z}) + (\frac{z}{x} + \frac{x}{z}) \geq 3$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z.

Suy ra: a = b = c.

Vậy $\frac{a}{b + c - a} + \frac{b}{a + c - b} + \frac{c}{a + b - c} \geq 3$ khi a = b = c.

Sách thầy cô Vietjack biên soạn

Xem thêm »

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn các điều kiện |z₁| = |z₂| = 2 và |z₁ + 2z₂| = 4. Tính giá trị của |2z₁ − z₂|.

Xem đáp án » 13/07/2024 15,307

Câu 2:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$

Xem đáp án » 13/07/2024 13,436

Câu 3:

Tìm m để hàm số y = x³ − 2mx² + mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.

Xem đáp án » 13/07/2024 8,635

Câu 4:

Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt thuộc các cạnh AD, BC sao cho IA = 2ID và JB = 2JC. Gọi (P) là mặt phẳng qua IJ và song song với AB. Tìm thiết diện của mặt phẳng (P) và tứ diện ABCD.

Xem đáp án » 23/08/2023 8,114

Câu 5:

Tính nguyên hàm $\int \frac{d x}{2 \tan x + 1}$ .

Xem đáp án » 13/07/2024 7,831

Câu 6:

Một hình trụ có bán kính đáy a, có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính theo a diện tích xung quanh của hình trụ.

Xem đáp án » 13/07/2024 5,353

Câu 7:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = −x³ + 2x² − mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.

Xem đáp án » 13/07/2024 5,270

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho a, b, c là 3 cạnh trong tam giác. Chứng minh rằng: ab+c−a+ba+c−b+ca+b−c≥3.

Bình luận

Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn các điều kiện |z1| = |z2| = 2 và |z1 + 2z2| = 4. Tính giá trị của |2z1 − z2|.

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=sinx−3cosx

Tìm m để hàm số y = x3 − 2mx2 + mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.

Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt thuộc các cạnh AD, BC sao cho IA = 2ID và JB = 2JC. Gọi (P) là mặt phẳng qua IJ và song song với AB. Tìm thiết diện của mặt phẳng (P) và tứ diện ABCD.

Tính nguyên hàm ∫dx2tanx+1.

Một hình trụ có bán kính đáy a, có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính theo a diện tích xung quanh của hình trụ.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = −x3 + 2x2 − mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a, b, c là 3 cạnh trong tam giác. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b + c - a} + \frac{b}{a + c - b} + \frac{c}{a + b - c} \geq 3$ .

Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn các điều kiện |z₁| = |z₂| = 2 và |z₁ + 2z₂| = 4. Tính giá trị của |2z₁ − z₂|.

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$

Tìm m để hàm số y = x³ − 2mx² + mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.

Tính nguyên hàm $\int \frac{d x}{2 \tan x + 1}$ .

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = −x³ + 2x² − mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.