Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1| = |z2| = |z1 − z2| = 1. Tính giá trị của biểu thức P=z1z22+z2z12.

Ta có: z1−z2=1⇒z1−z2z1−z2¯=1 ⇔z1−z2z1¯−z2¯=1 ⇔z1 . z1¯+z2 . z2¯−z1 . z2¯−z1¯ . z2=1 ⇔z12+z22−z1 . z2¯−z1¯ . z2=1 ⇔12+12−z1 . z2¯−z1¯ . z2=1 ⇔z1 . z2¯+z1¯ . z2=1 Khi đó P=z1z22+z2z12=z1z2+z2z12−2z1z2 . z2z1 =z1z2+z2z12−2=z1 . z2¯z22+z1¯ . z2z122−2 =z1 . z2¯+z1¯ . z22−2=12−2=−1

Câu hỏi:

19/08/2025 301

Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn |z₁| = |z₂| = |z₁ − z₂| = 1. Tính giá trị của biểu thức $P = {(\frac{z_{1}}{z_{2}})}^{2} + {(\frac{z_{2}}{z_{1}})}^{2}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $|z_{1} - z_{2}| = 1 \Rightarrow (z_{1} - z_{2}) (\bar{z_{1} - z_{2}}) = 1$

$\Leftrightarrow (z_{1} - z_{2}) (\bar{z_{1}} - \bar{z_{2}}) = 1$

$\Leftrightarrow z_{1} . \bar{z_{1}} + z_{2} . \bar{z_{2}} - z_{1} . \bar{z_{2}} - \bar{z_{1}} . z_{2} = 1$

$\Leftrightarrow {|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2} - z_{1} . \bar{z_{2}} - \bar{z_{1}} . z_{2} = 1$

$\Leftrightarrow 1^{2} + 1^{2} - z_{1} . \bar{z_{2}} - \bar{z_{1}} . z_{2} = 1$

$\Leftrightarrow z_{1} . \bar{z_{2}} + \bar{z_{1}} . z_{2} = 1$

Khi đó $P = {(\frac{z_{1}}{z_{2}})}^{2} + {(\frac{z_{2}}{z_{1}})}^{2} = {(\frac{z_{1}}{z_{2}} + \frac{z_{2}}{z_{1}})}^{2} - 2 \frac{z_{1}}{z_{2}} . \frac{z_{2}}{z_{1}}$

$= {(\frac{z_{1}}{z_{2}} + \frac{z_{2}}{z_{1}})}^{2} - 2 = {(\frac{z_{1} . \bar{z_{2}}}{{|z_{2}|}^{2}} + \frac{\bar{z_{1}} . z_{2}}{{|z_{1}|}^{2}})}^{2} - 2$

$= {(z_{1} . \bar{z_{2}} + \bar{z_{1}} . z_{2})}^{2} - 2 = 1^{2} - 2 = - 1$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x = 2 (\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x)$

$= 2 (\sin x . \cos \frac{π}{3} - \cos x . \sin \frac{π}{3})$

$= 2 \sin (x - \frac{π}{3})$

Ta có: $- 1 \leq \sin (x - \frac{π}{3}) \leq 1$

$\Leftrightarrow - 2 \leq 2 \sin (x - \frac{π}{3}) \leq 2$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

$\sin (x - \frac{π}{3}) = 1 \Leftrightarrow x - \frac{π}{3} = \frac{π}{2} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{5 π}{6} + k 2 π, (k \in ℤ)$

Vậy GTLN của hàm số bằng 2 khi $x = \frac{5 π}{6} + k 2 π, (k \in ℤ)$ .

Câu 2

Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn các điều kiện |z₁| = |z₂| = 2 và |z₁ + 2z₂| = 4. Tính giá trị của |2z₁ − z₂|.

Xem đáp án

Lời giải

Giả sử z₁= a + bi (a, b Î ℝ), z₂ = c + di (c, d Î ℝ)

Theo giả thiết, ta có: $\{\begin{cases} |z_{1}| = 2 \\ |z_{2}| = 2 \\ |z_{1} + 2 z_{2}| = 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 4 \\ c^{2} + d^{2} = 4 \\ {(a + 2 c)}^{2} + {(b + 2 d)}^{2} = 16 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 4 (1) \\ c^{2} + d^{2} = 4 (2) \\ a^{2} + b^{2} + 4 (c^{2} + d^{2}) + 4 (a c + b d) = 16 (3) \end{cases}$

Thay (1), (2) vào (3) ta được: ac + bd = −1 (4)

Ta có: $|2 z_{1} - z_{2}| = \sqrt{{(2 a - c)}^{2} + {(2 b - d)}^{2}}$

$= \sqrt{4 (a^{2} + b^{2}) + (c^{2} + d^{2}) - 4 (a c + b d)} (5)$

Thay (1), (2), (4) vào (5) ta có: $|2 z_{1} - z_{2}| = \sqrt{4 . 4 + 4 - 4 . (- 1)} = 2 \sqrt{6}$ .

Câu 3