7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 86)

Gọi E là giao điểm của CK và AB.

Tam giác CDK vuông tại D có đường cao DI nên KD² = KI . KC

Mà KD = KA nên KA² = KI . KC

⇒  $\frac{KA}{KI}=\frac{KC}{DA}$

Xét ΔKAI và ΔKCA có:

$\frac{KA}{KI}=\frac{KC}{DA}$

$\widehat{K}$ chung

⇒ ΔKAI ∽ ΔKCA (c.g.c)

⇒ $\widehat{KIA}=\widehat{KAC}$

mà $\widehat{KAC}=\widehat{KAE}$ (do AK là tia phân giác $\widehat{BAC}$) nên $\widehat{KIA}=\widehat{KAE}$

Từ đó suy ra: ΔEAK ∽ ΔEIA (g.g) ⇒ $\widehat{EKA}=\widehat{EAI}$

Hay $\widehat{DKC}=\widehat{BAI}$

Hơn nữa $\widehat{DKC}=\widehat{IDC}$ (cùng phụ với $\widehat{DCK}$) nên $\widehat{DKC}=\widehat{BAI}$

⇒ Tứ giác IABD nội tiếp (góc ngoài bằng góc trong đối diện)

⇒$\widehat{AIB}=\widehat{ADB}$

Mà $\widehat{ADB}=90°$

Nên $\widehat{AIB}=90°$.

Kẻ đường cao AH, BD

$S_{ABC}=\frac{1}{2}.AH.BC$ (*)

Mà tam giác AHB vuông tại H nên: $\sin \widehat{B}=\frac{AH}{AB}\Rightarrow AH=AB.\sin \widehat{B}$

Khi đó: $S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.BC.\sin \widehat{B}$

Tương tự: Trong tam giác AHC vuông tại H có: $\sin \widehat{C}=\frac{AH}{AC}\Rightarrow AH=AC.\sin \widehat{C}$

Khi đó: $S_{ABC}=\frac{1}{2}.AC.BC.\sin \widehat{C}$

Ta có: $S_{ABC}=\frac{1}{2}.BD.AC$ (*)

Trong tam giác BAD vuông tại D có: $\sin A=\frac{BD}{AB}\Rightarrow BD=AB.\sin \widehat{A}$

Ta có: MB + NB = AB = MB + AM

Suy ra: NB = AM

Tương tự: BM = NC

Ta có: $\widehat{A}=60°$ ⇒ $\widehat{D}=180°-60°=120°$

Vì ABCD là hình thoi nên $\widehat{D}=\widehat{B}=120°$

Xét tam giác BMD và tam giác CND có:

BM = NC

$\widehat{D}=\widehat{B}=120°$

Chung BD

⇒ ∆BMD = ∆CND (c.g.c)

⇒ MD = ND (1); $\widehat{BDM}=\widehat{CDN}$

Lại có: $\widehat{BDN}+\widehat{CDN}=60°$

⇒ $\widehat{BDN}+\widehat{BDM}=60°$ hay $\widehat{MDN}=60°$

Vậy tam giác MDN là tam giác đều.

a) Hình bình hành ABCD có $\widehat{BAD},\widehat{ADC}$ ở vị trí trong cùng phía.

Suy ra $\widehat{ADC}=180°-\widehat{BAD}=60°$

Khi đó $\widehat{ADI}=\widehat{IDC}=\frac{\widehat{ADC}}{2}=30°$ (do DI là tia phân giác của $\widehat{ADC}$).

Mà $\widehat{AID}=\widehat{IDC}$ (cặp góc so le trong).

Vì vậy $\widehat{AID}=\widehat{ADI}$

Suy ra tam giác ADI cân tại A.

Do đó AD = AI.

Mà AB = 2AI (I là trung điểm của AB).

Vậy AB = 2AD (điều phải chứng minh).

b) Gọi J là trung điểm của DI.

Tam giác ADI có AJ là đường trung tuyến.

Suy ra AJ vừa là đường phân giác, vừa là đường cao của tam giác ADI.

Khi đó $\widehat{JAI}=\widehat{DAJ}=\frac{\widehat{DAI}}{2}=60°$

Xét ∆AJD và ∆DHA, có:

$\widehat{AJD}=\widehat{DHA}=90°$

AD là cạnh chung;

$\widehat{DAJ}=\widehat{ADH}=60°$

Do đó ∆AJD = ∆DHA (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra DJ = AH (cặp cạnh tương ứng).

Mà DI = 2DJ (J là trung điểm của DI).

Vậy DI = 2AH (điều phải chứng minh).

c) Ta có BI = BC$\left(=\frac{1}{2}AB\right)$

Suy ra tam giác IBC cân tại B.

Mà $\widehat{IBC}=\widehat{ADC}=60°$

Do đó tam giác IBC đều.

Vì vậy IC = IB = IA.

Khi đó tam giác ABC vuông tại C hay $\widehat{ACB}=90°$

Suy ra $\widehat{DAC}=\widehat{ACB}=90°$

Vậy AD ⊥ AC (điều phải chứng minh).