Câu 1:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3f(x² – 4x) = m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng (0; +∞)?

Câu 2:

Tìm m để \(y = \frac{{{x^2} + m{\rm{x}}}}{{1 - x}}\) có cực trị và khoảng cách giữa 2 điểm cực trị bằng 10.

Câu 3:

Phân tích đa thức thành nhân tử (x + y)³ – ( x – y)³.

Câu 4:

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x² + 6x + 9.

Câu 5:

Cho \(A = \frac{1}{{2 + 2\sqrt a }} + \frac{1}{{2 - 2\sqrt a }} - \frac{{{a^2} + 1}}{{1 - {a^2}}}\)

a) Tìm điều kiện xác định rồi rút gọn A

b) Tìm a để \[{\rm{A}} < \frac{1}{3}\].

Câu 6:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình đường tròn (C')  là ảnh của đường tròn qua (C): x² + y² – 2x + 4y – 1 = 0 với \(\overrightarrow v = \left( {1;2} \right)\) là:

Câu 7:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 3{\rm{x}} + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên khoảng (0; +∞).

Câu 8:

Cho hàm số \((C):y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\)

Cho điểm M(0; m). Xác định m để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) sao cho 2 tiếp tuyến tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox.

Câu 9:

Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x³ + 2x² + 3x + 2 = y³.

Câu 10:

Tập xác định của hàm số y = logx là:

Câu 11:

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = xyz. Chứng minh rằng:

\(\sqrt {x + yz} + \sqrt {y + x{\rm{z}}} + \sqrt {z + xy} \ge \sqrt {xyz} + \sqrt x + \sqrt y + \sqrt z \).

Câu 12:

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}y + x{y^2} = 6{{\rm{x}}^2}\\1 + {x^2}{y^2} = 5{{\rm{x}}^2}\end{array} \right.\).

Câu 13:

Đạo hàm của hàm số y = log(1 – x) bằng:

Câu 14:

Cho x, y là các số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?

Câu 15:

Hình bình hành ABCD có AC ⊥ AD và AD = 3,5; \(\widehat D = 50^\circ \). Tính diện tích ABCD.

Câu 16:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x³ + x² + mx + 1 đồng biến trên khoảng (–∞; +∞)

Câu 17:

Chứng minh bất đẳng thức sinx < x với mọi x > 0 và sinx > x với mọi x < 0.

Câu 18:

Cho hàm số y = – x³ + 3x² + 3mx – 1, tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞) 

Câu 19:

Tính tổng: S = 1² + 2² + 3² + ... + n².

Câu 20:

Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c thỏa mãn bc = a².

Chứng minh rằng sinB.sinC = sin²A và h_b . h_c = h_a².

Câu 21:

Cho 4 chữ số 1, 5, 8, 9 có thể viết được mấy số có 4 chữ số khác nhau từ các chữ số trên.

Câu 22:

Tìm x biết x² – 9 + 5(x – 3) = 0.

Câu 23:

Câu 24:

Tìm x biết (8x – 7)(8x – 5)(2x – 1)(4x – 1) = 9.

Câu 25:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Câu 26:

Tính \(\frac{{{x^6} - {y^6}}}{{{x^4} - {y^4} - {x^3}y + x{y^3}}}\).

Câu 27:

Cho a là số thực dương, a ≠ 1 và \(P = {\log _{\sqrt[3]{a}}}{a^3}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 28:

Cho Ax, By là các tiếp tuyến của \(\left( {O;\frac{{AB}}{2}} \right)\). Tiếp tuyến tại M của (O) cắt Ax, By, AB lần lượt tại C, D, E. AD và BC cắt nhau tại N

a) Tính AC. BD theo AB

b) Chứng minh MN vuông góc AB

c) So sánh 2 tỉ số \(\frac{{CM}}{{CE}};\frac{{DM}}{{DE}}\).

d) Chứng minh rằng đường thẳng EN đi qua trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD.

Câu 29:

Phân tích đa thức thành nhân tử: (x – 1)(x – 2)(x + 7)(x + 8) + 8.

Câu 30:

Khai triển (x – 2)².

Câu 31:

Chứng minh với ab ≥ 1 thì \(\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \frac{2}{{1 + ab}}\).

Câu 32:

Cho a, b, c là 3 cạnh trong tam giác. Chứng minh rằng:

\(\frac{a}{{b + c - a}} + \frac{b}{{a + c - b}} + \frac{c}{{a + b - c}} \ge 3\).

Câu 33:

Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DE. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của MP và NQ. Chứng minh IJ song song với AE và \[{\rm{IJ}} = \frac{1}{4}A{\rm{E}}\].

Câu 34:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh:

a) AB² = BH . BC

b) AC² = CH . BC

c) \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\).

Câu 35:

Chứng minh với x, y, z dương ta có \(\frac{{{x^3}}}{{yz}} + \frac{{{y^3}}}{{xz}} + \frac{{{z^3}}}{{xy}} \ge x + y + z\).

Câu 36:

Với a, b, c là các số dương, chứng minh rằng

\(\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9\).

Câu 37:

Tìm giá trị nhỏ nhất của x² + 3x + 4.

Câu 38:

Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Hàm số y = 3f(x + 2) – x³ + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 39:

Tổng các nghiệm của phương trình 3^x+1 + 3^1-x = 10.

Câu 40:

Rút gọn các phân thức sau:

a) \(\frac{{{y^3} - {x^3}}}{{{x^3} - 3{{\rm{x}}^2}y + 3{\rm{x}}{y^2} - {y^3}}}\)

b) \(\frac{{{x^5} + x + 1}}{{{x^3} + {x^2} + x}}\)

c) \(\frac{{2{{\rm{x}}^2} - x - 3}}{{{x^2} - 4x - 5}}\).

Câu 41:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB.

a) Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD)

b) Tìm giao điểm DN với (SAC)

c) Chứng minh MN // (SCD).

Câu 42:

Mệnh đề nào sau đây đúng ?

Câu 43:

Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử:

x² – 2x – 4y² – 4y.

Câu 44:

Phân tích đa thức thành nhân tử: x³ – 7x – 6.

Câu 45:

Chứng minh \(\frac{1}{{1 + {a^3}}} + \frac{1}{{1 + {b^3}}} + \frac{1}{{1 + {c^3}}} \ge \frac{3}{{1 + abc}}\) với a, b, c ≥ 1.

Câu 46:

Cho A = 5ⁿ⁺² + 26 . 5ⁿ + 8^{2n + 1}. Chứng minh A ⋮ 59.

Câu 47:

Cho x > 0, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh: \(8\left( {{x^4} + {y^4}} \right) + \frac{1}{{xy}} \ge 5\).

Câu 48:

Chứng minh rằng a⁴ + b⁴ + c⁴ ≥ abc(a + b + c).