Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh:

a) AB² = BH . BC

b) AC² = CH . BC

c) $\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}$.

a) Xét tam giác ABC và tam giác HBA có:

$\widehat {BAC} = \widehat {AHB} = 90^\circ$

$\widehat B$ là góc chung

Suy ra  (g.g)

Do đó $\frac{{AB}}{{BH}} = \frac{{BC}}{{AB}}$

Suy ra AB² = BH . BC

b) Xét tam giác ABC và tam giác HAC có:

$\widehat {BAC} = \widehat {AHC} = 90^\circ$

$\widehat C$ là góc chung

Suy ra  (g.g)

Do đó $\frac{{AC}}{{CH}} = \frac{{BC}}{{AC}}$

Suy ra AC² = BC . CH

c) Vì (chứng minh câu a)

Nên $\frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{BC}}$

Suy ra $\frac{{A{H^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}}$                       (1)

Vì (chứng minh câu b)

Nên $\frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AH}}$

Suy ra $\frac{{A{H^2}}}{{A{B^2}}} = \frac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}}$                       (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{A{H^2}}}{{A{C^2}}} + \frac{{A{H^2}}}{{A{B^2}}} = \frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}} + \frac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{B{C^2}}}$

Mà tam giác ABC vuông tại A nên BC² = AB² + AC²

Do đó $\frac{{A{H^2}}}{{A{C^2}}} + \frac{{A{H^2}}}{{A{B^2}}} = 1$

Suy ra $\frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}}$

Vậy $\frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}}$.