Cho a là số thực dương, a ≠ 1 và \(P = {\log _{\sqrt[3]{a}}}{a^3}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Đáp án đúng là: C

Ta có: y’ > 0 ⇔ 3f’(x + 2) – 3x² + 3 > 0

⇔ 3f’(x + 2) > 3x² – 3

⇔ f’(x + 2) > x² – 1

Đặt t = x + 2, suy ra x = t – 2.

Khi đó f’(t) > (t – 2)² – 1

Chọn t sao cho \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {t - 2} \right)^2} - 1 < 0\\f'\left( t \right) > 0\end{array} \right.\)           

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < t - 2 < 1\\t \in \left( {1;2} \right) \cup \left( {2;3} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 < t < 3\\t \in \left( {1;2} \right) \cup \left( {2;3} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < t < 2\\2 < t < 3\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < x + 2 < 2\\2 < x + 2 < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < x < 0\\0 < x < 1\end{array} \right.\)

Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (–1; 0) và (0; 1).

Vậy ta chọn đáp án C.

Ta có:

\(\begin{array}{l}2{x^2} + 3x + 2 = 2\left( {{x^2} + \frac{3}{2}x + 1} \right) = 2\left( {{x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{3}{4} + \frac{9}{{16}} + \frac{7}{{16}}} \right)\\ = 2\left[ {{{\left( {x + \frac{3}{4}} \right)}^2} + \frac{7}{{16}}} \right] = 2{\left( {x + \frac{3}{4}} \right)^2} + \frac{7}{8}\end{array}\)

Vì \(2{\left( {x + \frac{3}{4}} \right)^2} \ge 0;\forall x\)

Nên \(2{\left( {x + \frac{3}{4}} \right)^2} + \frac{7}{8} > 0;\forall x\)

Mà x³ + 2x² + 3x + 2 = y³

Suy ra x³ < y³

Giả sử y³ < (x + 2)³

⇔ x³ + 2x² + 3x + 2 < x³ + 6x² + 12x + 8

⇔ – 4x² – 9x – 6 < 0

⇔ 4x² + 9x + 6 > 0

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{x^2} + 9x + 6 > 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {{x^2} + \frac{9}{4}x + \frac{{81}}{{64}}} \right) + \frac{{15}}{{16}} > 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {{x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{9}{8} + \frac{{81}}{{64}}} \right) + \frac{{15}}{{16}} > 0\\ \Leftrightarrow 4{\left( {x + \frac{9}{8}} \right)^2} + \frac{{15}}{{16}} > 0{\rm{ }}\end{array}\) (luôn đúng)

Do đó y³ < (x + 2)³

Mà x³ < y³

Nên x³ < y³ < (x + 2)³

Lại có y³ là lập phương của một số nguyên, giữa x³ và (x + 2)³ chỉ có 1 số lập phương duy nhất là (x + 1)³

Do đó y ³ = (x + 1)³

⇔ x³ + 2x² + 3x + 2 = x³ + 3x² + 3x + 1

⇔ x² – 1 = 0

⇔ (x – 1)(x + 1) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{y^3} = 1 + 2 + 3 + 2 = 8\\{y^3} = - 1 + 2 - 3 + 2 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 2\\y = 0\end{array} \right.\)

Vậy (x; y) = (1; 2) hoặc (x; y) = (–1; 0).