Câu hỏi:
12/07/2024 1,352
Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = xyz. Chứng minh rằng:
\(\sqrt {x + yz} + \sqrt {y + x{\rm{z}}} + \sqrt {z + xy} \ge \sqrt {xyz} + \sqrt x + \sqrt y + \sqrt z \).
Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = xyz. Chứng minh rằng:
\(\sqrt {x + yz} + \sqrt {y + x{\rm{z}}} + \sqrt {z + xy} \ge \sqrt {xyz} + \sqrt x + \sqrt y + \sqrt z \).
Câu hỏi trong đề:
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đặt \(a = \frac{1}{x};b = \frac{1}{y};c = \frac{1}{z}\)
Suy ra a, b, c > 0 và \(a + b + c = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{{yz + x{\rm{z}} + xy}}{{xyz}} = 1\)
Khi đó \(\sqrt {x + yz} + \sqrt {y + x{\rm{z}}} + \sqrt {z + xy} \ge \sqrt {xyz} + \sqrt x + \sqrt y + \sqrt z \)
\( \Leftrightarrow \sqrt {\frac{1}{a} + \frac{1}{{bc}}} + \sqrt {\frac{1}{b} + \frac{1}{{ac}}} + \sqrt {\frac{1}{c} + \frac{1}{{ab}}} \ge \sqrt {\frac{1}{{abc}}} + \sqrt {\frac{1}{a}} + \sqrt {\frac{1}{b}} + \sqrt {\frac{1}{c}} \)
\( \Leftrightarrow \sqrt {a + bc} + \sqrt {b + ac} + \sqrt {c + ab} \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ac} + 1\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\sqrt {a + bc} = \sqrt {a(a + b + c) + bc} = \sqrt {{a^2} + a(b + c) + bc} \ge \sqrt {{a^2} + 2a\sqrt {bc} + bc} \\ \Rightarrow \sqrt {a + bc} \ge \sqrt {{{(a + \sqrt {bc} )}^2}} = a + \sqrt {bc} \end{array}\)
Chứng minh tương tự:
\(\begin{array}{l}\sqrt {b + ac} \ge b + \sqrt {ac} ;\\\sqrt {c + ab} \ge c + \sqrt {ab} \end{array}\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được
\(\sqrt {a + bc} + \sqrt {b + ac} + \sqrt {c + ab} \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ac} + a + b + c\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {a + bc} + \sqrt {b + ac} + \sqrt {c + ab} \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ac} + 1\)
Suy ra \(\sqrt {x + yz} + \sqrt {y + x{\rm{z}}} + \sqrt {z + xy} \ge \sqrt {xyz} + \sqrt x + \sqrt y + \sqrt z \)
Dấu “ = ” xảy ra khi \(a = b = c = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = y = z = 3\)
Vậy \(\sqrt {x + yz} + \sqrt {y + x{\rm{z}}} + \sqrt {z + xy} \ge \sqrt {xyz} + \sqrt x + \sqrt y + \sqrt z \).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho a là số thực dương, a ≠ 1 và \(P = {\log _{\sqrt[3]{a}}}{a^3}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Cho a là số thực dương, a ≠ 1 và \(P = {\log _{\sqrt[3]{a}}}{a^3}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Xem đáp án »
16/08/2023
12,811
Câu 2:
Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Hàm số y = 3f(x + 2) – x3 + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Hàm số y = 3f(x + 2) – x3 + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Xem đáp án »
16/08/2023
11,149
Câu 3:
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3f(x2 – 4x) = m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng (0; +∞)?
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3f(x2 – 4x) = m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng (0; +∞)?
Xem đáp án »
16/08/2023
7,133
Câu 5:
Hình bình hành ABCD có AC ⊥ AD và AD = 3,5; \(\widehat D = 50^\circ \). Tính diện tích ABCD.
Hình bình hành ABCD có AC ⊥ AD và AD = 3,5; \(\widehat D = 50^\circ \). Tính diện tích ABCD.
Xem đáp án »
12/07/2024
2,470
Câu 7:
Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c thỏa mãn bc = a2.
Chứng minh rằng sinB.sinC = sin2A và hb . hc = ha2.
Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c thỏa mãn bc = a2.
Chứng minh rằng sinB.sinC = sin2A và hb . hc = ha2.
Xem đáp án »
16/08/2023
2,071
về câu hỏi!