Câu hỏi:
16/08/2023 199
Chứng minh với ab ≥ 1 thì \(\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \frac{2}{{1 + ab}}\).
Chứng minh với ab ≥ 1 thì \(\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \frac{2}{{1 + ab}}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: \(\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \frac{2}{{1 + ab}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} - \frac{2}{{1 + ab}} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{{1 + {a^2}}} - \frac{1}{{1 + ab}}} \right) + \left( {\frac{1}{{1 + {b^2}}} - \frac{1}{{1 + ab}}} \right) \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{1 + ab - 1 - {a^2}}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)}} + \frac{{1 + ab - 1 - {b^2}}}{{\left( {1 + {b^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)}} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{ab - {a^2}}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)}} + \frac{{ab - {b^2}}}{{\left( {1 + {b^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)}} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {ab - {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right) + \left( {1 + {a^2}} \right)\left( {ab - {b^2}} \right)}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)}} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{a\left( {b - a} \right)\left( {1 + {b^2}} \right) + \left( {1 + {a^2}} \right)b\left( {a - b} \right)}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)}} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {b - a} \right)\left[ {a\left( {1 + {b^2}} \right) - b\left( {1 + {a^2}} \right)} \right]}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)}} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {b - a} \right)\left[ {a + a{b^2} - b - {a^2}b} \right]}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)}} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {b - a} \right)\left[ {\left( {a - b} \right) - ab\left( {a - b} \right)} \right]}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)}} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {b - a} \right)}^2}\left( {ab - 1} \right)}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)}} \ge 0\)
Vì ab ≥ 1 nên ab – 1 ≥ 0
Mà (b – a)2 ≥ 0
Suy ra (b – a)2(ab – 1) ≥ 0
Vì (a2 + 1) > 0, (b2 + 1) > 0, (ab + 1) > 0
Nên (a2 + 1)(b2 + 1)(ab + 1) > 0
Suy ra \(\frac{{{{\left( {b - a} \right)}^2}\left( {ab - 1} \right)}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)}} \ge 0\) với mọi a, b, ab ≥ 1
Vậy \(\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \frac{2}{{1 + ab}}\).
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới)
Đã bán 1,5k
₫ 70.000
₫ 36.000
Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết)
Đã bán 986
₫ 70.000
₫ 36.000
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho a là số thực dương, a ≠ 1 và \(P = {\log _{\sqrt[3]{a}}}{a^3}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Cho a là số thực dương, a ≠ 1 và \(P = {\log _{\sqrt[3]{a}}}{a^3}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Xem đáp án »
16/08/2023
24,651
Câu 2:
Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Hàm số y = 3f(x + 2) – x3 + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Hàm số y = 3f(x + 2) – x3 + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Xem đáp án »
16/08/2023
12,916
Câu 3:
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3f(x2 – 4x) = m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng (0; +∞)?
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3f(x2 – 4x) = m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng (0; +∞)?
Xem đáp án »
16/08/2023
8,635
Câu 6:
Cho x, y là các số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?
Cho x, y là các số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?
Xem đáp án »
16/08/2023
3,963
Câu 7:
Hình bình hành ABCD có AC ⊥ AD và AD = 3,5; \(\widehat D = 50^\circ \). Tính diện tích ABCD.
Hình bình hành ABCD có AC ⊥ AD và AD = 3,5; \(\widehat D = 50^\circ \). Tính diện tích ABCD.
Xem đáp án »
12/07/2024
2,888
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 1)
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận