Câu hỏi:

12/07/2024 1,470

Chứng minh \(\frac{1}{{1 + {a^3}}} + \frac{1}{{1 + {b^3}}} + \frac{1}{{1 + {c^3}}} \ge \frac{3}{{1 + abc}}\) với a, b, c ≥ 1.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Ta có:

\(\frac{1}{{1 + {a^3}}} + \frac{1}{{1 + {b^3}}} + \frac{1}{{1 + {c^3}}} \ge \frac{3}{{1 + abc}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{1 + {a^3}}} + \frac{1}{{1 + {b^3}}} + \frac{1}{{1 + {c^3}}} + \frac{1}{{1 + abc}} \ge \frac{4}{{1 + abc}}\)

Xét \(\frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{1}{{1 + {y^2}}} \ge \frac{2}{{1 + xy}}\) với x, y ≥ 1

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{1}{{1 + {y^2}}} - \frac{2}{{1 + xy}} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + xy} \right) + \left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + xy} \right) - 2\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + xy} \right)}} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{1 + xy + {y^2} + x{y^3} + 1 + xy + {x^2} + {x^3}y - 2 - 2{{\rm{x}}^2} - 2{y^2} - 2{x^2}{y^2}}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + xy} \right)}} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{x{y^3} + 2xy + {x^3}y - {{\rm{x}}^2} - {y^2} - 2{x^2}{y^2}}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + xy} \right)}} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{xy\left( {{y^2} - 2{\rm{x}}y + {x^2}} \right) - \left( {{y^2} - 2{\rm{x}}y + {x^2}} \right)}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + xy} \right)}} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {xy - 1} \right)}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + xy} \right)}} \ge 0\)

Vì x, y ≥ 1 nên xy – 1 ≥ 0

Mà (x – y)2 ≥ 0, 1 + x2 > 0, 1 + y2 > 0, xy + 1 > 0

Suy ra \(\frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {xy - 1} \right)}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + xy} \right)}} \ge 0\) với mọi x, y ≥ 1

Do đó \(\frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{1}{{1 + {y^2}}} \ge \frac{2}{{1 + xy}}\) với x, y ≥ 1

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

\(\frac{1}{{1 + {a^3}}} + \frac{1}{{1 + {b^3}}} + \frac{1}{{1 + {c^3}}} + \frac{1}{{1 + abc}} \ge \frac{2}{{1 + \sqrt {{a^3}{b^3}} }} + \frac{2}{{1 + \sqrt {ab{c^4}} }}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{1 + {a^3}}} + \frac{1}{{1 + {b^3}}} + \frac{1}{{1 + {c^3}}} + \frac{1}{{1 + abc}} \ge \frac{4}{{1 + \sqrt {{a^3}{b^3}\sqrt {ab{c^4}} } }}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{1 + {a^3}}} + \frac{1}{{1 + {b^3}}} + \frac{1}{{1 + {c^3}}} + \frac{1}{{1 + abc}} \ge \frac{4}{{1 + abc}}\)

Dấu “ = ” xảy ra khi a = b = c = 1

Vậy \(\frac{1}{{1 + {a^3}}} + \frac{1}{{1 + {b^3}}} + \frac{1}{{1 + {c^3}}} \ge \frac{3}{{1 + abc}}\) với a, b, c ≥ 1.

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho a là số thực dương, a ≠ 1 và \(P = {\log _{\sqrt[3]{a}}}{a^3}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Xem đáp án » 16/08/2023 24,071

Câu 2:

Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Hàm số y = 3f(x + 2) - x^3 + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây (ảnh 1)

Hàm số y = 3f(x + 2) – x3 + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Xem đáp án » 16/08/2023 12,620

Câu 3:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3f(x^2 - 4x) = m có ít nhất  (ảnh 1)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3f(x2 – 4x) = m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng (0; +∞)?

Xem đáp án » 16/08/2023 8,569

Câu 4:

Tập xác định của hàm số y = logx là:

Xem đáp án » 16/08/2023 7,174

Câu 5:

Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x3 + 2x2 + 3x + 2 = y3.

Xem đáp án » 12/07/2024 7,088

Câu 6:

Cho x, y là các số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?

Xem đáp án » 16/08/2023 3,802

Câu 7:

Hình bình hành ABCD có AC AD và AD = 3,5; \(\widehat D = 50^\circ \). Tính diện tích ABCD.

Xem đáp án » 12/07/2024 2,837
Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua