Câu hỏi:
16/08/2023 224
Cho a, b, c là 3 cạnh trong tam giác. Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{{b + c - a}} + \frac{b}{{a + c - b}} + \frac{c}{{a + b - c}} \ge 3\).
Cho a, b, c là 3 cạnh trong tam giác. Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{{b + c - a}} + \frac{b}{{a + c - b}} + \frac{c}{{a + b - c}} \ge 3\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đặt x = b + c – a
y = a + c – b
z = a + b – c
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x + z = b + c - a + a + b - c = 2b\\x + y = b + c - a + a + c - b = 2c\\y + z = a + c - b + a + b - c = 2{\rm{a}}\end{array} \right.\)
Ta có: \(2A = \frac{{y + z}}{x} + \frac{{x + z}}{y} + \frac{{x + y}}{z}\)
\( = \frac{y}{x} + \frac{z}{x} + \frac{x}{y} + \frac{z}{y} + \frac{x}{z} + \frac{y}{z}\)
\( = \left( {\frac{y}{x} + \frac{x}{y}} \right) + \left( {\frac{z}{y} + \frac{y}{z}} \right) + \left( {\frac{x}{z} + \frac{z}{x}} \right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {\frac{y}{x} + \frac{x}{y}} \right) \ge 2\sqrt {\frac{y}{x}.\frac{x}{y}} = 2\\\left( {\frac{z}{y} + \frac{y}{z}} \right) \ge 2\sqrt {\frac{z}{y}.\frac{y}{z}} = 2\\\left( {\frac{x}{z} + \frac{z}{x}} \right) \ge 2\sqrt {\frac{z}{x}.\frac{x}{z}} = 2\end{array}\)
Suy ra:
\(\left( {\frac{y}{x} + \frac{x}{y}} \right) + \left( {\frac{z}{y} + \frac{y}{z}} \right) + \left( {\frac{x}{z} + \frac{z}{x}} \right) \ge 6\)
\( \Leftrightarrow 2A = \frac{{y + z}}{x} + \frac{{x + z}}{y} + \frac{{x + y}}{z} \ge 6\)
\( \Leftrightarrow 2A = \frac{{2{\rm{a}}}}{{b + c - a}} + \frac{{2b}}{{a + c - b}} + \frac{{2c}}{{a + b - c}} \ge 6\)
\( \Leftrightarrow A = \frac{{\rm{a}}}{{b + c - a}} + \frac{b}{{a + c - b}} + \frac{c}{{a + b - c}} \ge 3\)
Vậy \(\frac{a}{{b + c - a}} + \frac{b}{{a + c - b}} + \frac{c}{{a + b - c}} \ge 3\).
Sách thầy cô Vietjack biên soạn
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho a là số thực dương, a ≠ 1 và \(P = {\log _{\sqrt[3]{a}}}{a^3}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Cho a là số thực dương, a ≠ 1 và \(P = {\log _{\sqrt[3]{a}}}{a^3}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Xem đáp án »
16/08/2023
24,081
Câu 2:
Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Hàm số y = 3f(x + 2) – x3 + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Hàm số y = 3f(x + 2) – x3 + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Xem đáp án »
16/08/2023
12,621
Câu 3:
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3f(x2 – 4x) = m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng (0; +∞)?
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3f(x2 – 4x) = m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng (0; +∞)?
Xem đáp án »
16/08/2023
8,571
Câu 6:
Cho x, y là các số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?
Cho x, y là các số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?
Xem đáp án »
16/08/2023
3,803
Câu 7:
Hình bình hành ABCD có AC ⊥ AD và AD = 3,5; \(\widehat D = 50^\circ \). Tính diện tích ABCD.
Hình bình hành ABCD có AC ⊥ AD và AD = 3,5; \(\widehat D = 50^\circ \). Tính diện tích ABCD.
Xem đáp án »
12/07/2024
2,838
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
-
62 câu Trắc nghiệm Khái niệm về khối đa diện (nhận biết)
-
80 câu Bài tập Hình học Khối đa diện có lời giải chi tiết (P1)
-
148 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu từ đề thi Đại học có lời giải (P1)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận