Câu hỏi:
16/08/2023 230
Cho a, b, c là 3 cạnh trong tam giác. Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{{b + c - a}} + \frac{b}{{a + c - b}} + \frac{c}{{a + b - c}} \ge 3\).
Cho a, b, c là 3 cạnh trong tam giác. Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{{b + c - a}} + \frac{b}{{a + c - b}} + \frac{c}{{a + b - c}} \ge 3\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đặt x = b + c – a
y = a + c – b
z = a + b – c
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x + z = b + c - a + a + b - c = 2b\\x + y = b + c - a + a + c - b = 2c\\y + z = a + c - b + a + b - c = 2{\rm{a}}\end{array} \right.\)
Ta có: \(2A = \frac{{y + z}}{x} + \frac{{x + z}}{y} + \frac{{x + y}}{z}\)
\( = \frac{y}{x} + \frac{z}{x} + \frac{x}{y} + \frac{z}{y} + \frac{x}{z} + \frac{y}{z}\)
\( = \left( {\frac{y}{x} + \frac{x}{y}} \right) + \left( {\frac{z}{y} + \frac{y}{z}} \right) + \left( {\frac{x}{z} + \frac{z}{x}} \right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {\frac{y}{x} + \frac{x}{y}} \right) \ge 2\sqrt {\frac{y}{x}.\frac{x}{y}} = 2\\\left( {\frac{z}{y} + \frac{y}{z}} \right) \ge 2\sqrt {\frac{z}{y}.\frac{y}{z}} = 2\\\left( {\frac{x}{z} + \frac{z}{x}} \right) \ge 2\sqrt {\frac{z}{x}.\frac{x}{z}} = 2\end{array}\)
Suy ra:
\(\left( {\frac{y}{x} + \frac{x}{y}} \right) + \left( {\frac{z}{y} + \frac{y}{z}} \right) + \left( {\frac{x}{z} + \frac{z}{x}} \right) \ge 6\)
\( \Leftrightarrow 2A = \frac{{y + z}}{x} + \frac{{x + z}}{y} + \frac{{x + y}}{z} \ge 6\)
\( \Leftrightarrow 2A = \frac{{2{\rm{a}}}}{{b + c - a}} + \frac{{2b}}{{a + c - b}} + \frac{{2c}}{{a + b - c}} \ge 6\)
\( \Leftrightarrow A = \frac{{\rm{a}}}{{b + c - a}} + \frac{b}{{a + c - b}} + \frac{c}{{a + b - c}} \ge 3\)
Vậy \(\frac{a}{{b + c - a}} + \frac{b}{{a + c - b}} + \frac{c}{{a + b - c}} \ge 3\).
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới)
Đã bán 1,5k
₫ 70.000
₫ 36.000
Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025)
Đã bán 1,1k
₫ 70.000
₫ 36.000
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho a là số thực dương, a ≠ 1 và \(P = {\log _{\sqrt[3]{a}}}{a^3}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Cho a là số thực dương, a ≠ 1 và \(P = {\log _{\sqrt[3]{a}}}{a^3}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Xem đáp án »
16/08/2023
24,651
Câu 2:
Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Hàm số y = 3f(x + 2) – x3 + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Hàm số y = 3f(x + 2) – x3 + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Xem đáp án »
16/08/2023
12,916
Câu 3:
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3f(x2 – 4x) = m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng (0; +∞)?
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3f(x2 – 4x) = m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng (0; +∞)?
Xem đáp án »
16/08/2023
8,635
Câu 6:
Cho x, y là các số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?
Cho x, y là các số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?
Xem đáp án »
16/08/2023
3,963
Câu 7:
Hình bình hành ABCD có AC ⊥ AD và AD = 3,5; \(\widehat D = 50^\circ \). Tính diện tích ABCD.
Hình bình hành ABCD có AC ⊥ AD và AD = 3,5; \(\widehat D = 50^\circ \). Tính diện tích ABCD.
Xem đáp án »
12/07/2024
2,888
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 1)
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận