Cho x > 0, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh: \(8\left( {{x^4} + {y^4}} \right) + \frac{1}{{xy}} \ge 5\).

Ta có:

(a – b)² ≥ 0

⇔ a² – 2ab + b² ≥ 0

⇔ a² + b² ≥ 2ab

⇔ 2(a² + b²) ≥ 2ab + a² + b²

⇔ 2(a² + b²) ≥ (a + b)²

\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2}\)

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có

\(8\left( {{x^4} + {y^4}} \right) \ge 8\left[ {\frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2}}}{2}} \right]\)

\( \Leftrightarrow 8\left( {{x^4} + {y^4}} \right) \ge 4{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 8\left( {{x^4} + {y^4}} \right) \ge 4{\left[ {\frac{{\left( {x + {y^2}} \right)}}{2}} \right]^2} = 1\) (vì x + y = 1)

Lại có (x + y)² ≥ 4xy

⇔ 1 ≥ 4xy (vì x + y = 1)

\( \Leftrightarrow xy \le \frac{1}{4}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{xy}} \ge 4\)

Suy ra \(8\left( {{x^4} + {y^4}} \right) + \frac{1}{{xy}} \ge 1 + 4 = 5\)

Vậy \(8\left( {{x^4} + {y^4}} \right) + \frac{1}{{xy}} \ge 5\).