Câu hỏi:
12/07/2024 1,093
Cho x > 0, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh: \(8\left( {{x^4} + {y^4}} \right) + \frac{1}{{xy}} \ge 5\).
Cho x > 0, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh: \(8\left( {{x^4} + {y^4}} \right) + \frac{1}{{xy}} \ge 5\).
Câu hỏi trong đề:
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có:
(a – b)2 ≥ 0
⇔ a2 – 2ab + b2 ≥ 0
⇔ a2 + b2 ≥ 2ab
⇔ 2(a2 + b2) ≥ 2ab + a2 + b2
⇔ 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2
\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có
\(8\left( {{x^4} + {y^4}} \right) \ge 8\left[ {\frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2}}}{2}} \right]\)
\( \Leftrightarrow 8\left( {{x^4} + {y^4}} \right) \ge 4{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 8\left( {{x^4} + {y^4}} \right) \ge 4{\left[ {\frac{{\left( {x + {y^2}} \right)}}{2}} \right]^2} = 1\) (vì x + y = 1)
Lại có (x + y)2 ≥ 4xy
⇔ 1 ≥ 4xy (vì x + y = 1)
\( \Leftrightarrow xy \le \frac{1}{4}\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{xy}} \ge 4\)
Suy ra \(8\left( {{x^4} + {y^4}} \right) + \frac{1}{{xy}} \ge 1 + 4 = 5\)
Vậy \(8\left( {{x^4} + {y^4}} \right) + \frac{1}{{xy}} \ge 5\).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho a là số thực dương, a ≠ 1 và \(P = {\log _{\sqrt[3]{a}}}{a^3}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Cho a là số thực dương, a ≠ 1 và \(P = {\log _{\sqrt[3]{a}}}{a^3}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Xem đáp án »
16/08/2023
12,811
Câu 2:
Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Hàm số y = 3f(x + 2) – x3 + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Hàm số y = 3f(x + 2) – x3 + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Xem đáp án »
16/08/2023
11,149
Câu 3:
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3f(x2 – 4x) = m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng (0; +∞)?
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3f(x2 – 4x) = m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng (0; +∞)?
Xem đáp án »
16/08/2023
7,133
Câu 5:
Hình bình hành ABCD có AC ⊥ AD và AD = 3,5; \(\widehat D = 50^\circ \). Tính diện tích ABCD.
Hình bình hành ABCD có AC ⊥ AD và AD = 3,5; \(\widehat D = 50^\circ \). Tính diện tích ABCD.
Xem đáp án »
12/07/2024
2,470
Câu 7:
Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c thỏa mãn bc = a2.
Chứng minh rằng sinB.sinC = sin2A và hb . hc = ha2.
Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c thỏa mãn bc = a2.
Chứng minh rằng sinB.sinC = sin2A và hb . hc = ha2.
Xem đáp án »
16/08/2023
2,071
về câu hỏi!