Câu hỏi:
16/08/2023 265
Cho Ax, By là các tiếp tuyến của \(\left( {O;\frac{{AB}}{2}} \right)\). Tiếp tuyến tại M của (O) cắt Ax, By, AB lần lượt tại C, D, E. AD và BC cắt nhau tại N
a) Tính AC. BD theo AB
b) Chứng minh MN vuông góc AB
c) So sánh 2 tỉ số \(\frac{{CM}}{{CE}};\frac{{DM}}{{DE}}\).
d) Chứng minh rằng đường thẳng EN đi qua trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD.
Cho Ax, By là các tiếp tuyến của \(\left( {O;\frac{{AB}}{2}} \right)\). Tiếp tuyến tại M của (O) cắt Ax, By, AB lần lượt tại C, D, E. AD và BC cắt nhau tại N
a) Tính AC. BD theo AB
b) Chứng minh MN vuông góc AB
c) So sánh 2 tỉ số \(\frac{{CM}}{{CE}};\frac{{DM}}{{DE}}\).
d) Chứng minh rằng đường thẳng EN đi qua trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD.
Câu hỏi trong đề:
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Xét (O) có CA, CM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C
Suy ra CA = CM, OC là tia phân giác của \(\widehat {AOM}\)
Do đó \(\widehat {COM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM}\)
Xét (O) có DB, DM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D
Suy ra DB = DM, OD là tia phân giác của \(\widehat {BOM}\)
Do đó \(\widehat {DOM} = \frac{1}{2}\widehat {BOM}\)
Ta có: \(\widehat {COD} = \widehat {COM} + \widehat {DOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM} + \frac{1}{2}\widehat {BOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = \frac{1}{2}.180^\circ = 90^\circ \)
Do đó tam giác COD vuông tại O
Mà OM ⊥ CD
Suy ra OM2 = CM . DM (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Mà CA = CM, DB = DM, \(OM = \frac{1}{2}AB\)
Suy ra \(CA.DB = \frac{{A{B^2}}}{4}\)
b) Vì AC // BD nên \(\frac{{AC}}{{B{\rm{D}}}} = \frac{{AN}}{{N{\rm{D}}}} = \frac{{CN}}{{NB}}\)
Mà CA = CM, DB = DM (chứng minh câu a)
Suy ra \(\frac{{CM}}{{DM}} = \frac{{AN}}{{N{\rm{D}}}}\)
Xét tam giác ACD có \(\frac{{CM}}{{DM}} = \frac{{AN}}{{N{\rm{D}}}}\)
Suy ra MN // CA
Mà AC ⊥ AB
Do đó MN ⊥ AB
c) Xét tam giác ACE vuông tại A có
\[\sin \widehat E = \frac{{CA}}{{CE}}\]
Mà CA = CM
Suy ra \[\sin \widehat E = \frac{{CM}}{{CE}}\] (1)
Xét tam giác EBD vuông tại B có
\[\sin \widehat E = \frac{{B{\rm{D}}}}{{DE}}\]
Mà BD = DM
Suy ra \[\sin \widehat E = \frac{{DM}}{{DE}}\] (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{CM}}{{CE}} = \frac{{DM}}{{DE}}\)
d) Gọi giao điểm của MN với AB là H
Giao điểm của AN với AC và BD lần lượt là I và K
Xét (O) đường kính AB có MN ⊥ AO
Mà MN cắt AO tại H
Suy ra H là trung điểm của AO
Xét tam giác DBE có MH // BD
Suy ra \(\frac{{MN}}{{DK}} = \frac{{NH}}{{BK}}\)
Do đó \(\frac{{MN}}{{NH}} = \frac{{DK}}{{BK}}\) (3)
Gọi giao điểm của MB và HD là E
Xét tam giác DKE có MN // KD
Suy ra \(\frac{{NH}}{{DK}} = \frac{{NE}}{{EK}}\)
Xét tam giác BKE có MN // BK
Suy ra \(\frac{{NM}}{{BK}} = \frac{{NE}}{{EK}}\)
Mà \(\frac{{NH}}{{DK}} = \frac{{NE}}{{EK}}\)
Do đó \(\frac{{NH}}{{DK}} = \frac{{MN}}{{BK}}\)
Hay \(\frac{{NM}}{{MH}} = \frac{{BK}}{{DK}}\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{{DK}}{{BK}} = \frac{{BK}}{{DK}}\)
Do đó DK = BK, MN = NH
Hay EN đi qua trung điểm K của đoạn thẳng BD
Xét tam giác EHM có CA // MH
Suy ra \(\frac{{CI}}{{MN}} = \frac{{AI}}{{NH}}\)
Mà MN = NH
Suy ra CI = AI
Hay EN đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AC
Vậy EN đi qua trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho a là số thực dương, a ≠ 1 và \(P = {\log _{\sqrt[3]{a}}}{a^3}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Cho a là số thực dương, a ≠ 1 và \(P = {\log _{\sqrt[3]{a}}}{a^3}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Xem đáp án »
16/08/2023
12,811
Câu 2:
Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Hàm số y = 3f(x + 2) – x3 + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Hàm số y = 3f(x + 2) – x3 + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Xem đáp án »
16/08/2023
11,149
Câu 3:
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3f(x2 – 4x) = m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng (0; +∞)?
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3f(x2 – 4x) = m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng (0; +∞)?
Xem đáp án »
16/08/2023
7,133
Câu 5:
Hình bình hành ABCD có AC ⊥ AD và AD = 3,5; \(\widehat D = 50^\circ \). Tính diện tích ABCD.
Hình bình hành ABCD có AC ⊥ AD và AD = 3,5; \(\widehat D = 50^\circ \). Tính diện tích ABCD.
Xem đáp án »
12/07/2024
2,468
Câu 7:
Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c thỏa mãn bc = a2.
Chứng minh rằng sinB.sinC = sin2A và hb . hc = ha2.
Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c thỏa mãn bc = a2.
Chứng minh rằng sinB.sinC = sin2A và hb . hc = ha2.
Xem đáp án »
16/08/2023
2,071
về câu hỏi!