Cho Ax, By là các tiếp tuyến của \(\left( {O;\frac{{AB}}{2}} \right)\). Tiếp tuyến tại M của (O) cắt Ax, By, AB lần lượt tại C, D, E. AD và BC cắt nhau tại N

a) Tính AC. BD theo AB

b) Chứng minh MN vuông góc AB

c) So sánh 2 tỉ số \(\frac{{CM}}{{CE}};\frac{{DM}}{{DE}}\).

d) Chứng minh rằng đường thẳng EN đi qua trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD.

a) Xét (O) có CA, CM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C

Suy ra CA = CM, OC là tia phân giác của \(\widehat {AOM}\)

Do đó \(\widehat {COM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM}\)

Xét (O) có DB, DM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D

Suy ra DB = DM, OD là tia phân giác của \(\widehat {BOM}\)

Do đó \(\widehat {DOM} = \frac{1}{2}\widehat {BOM}\)

Ta có: \(\widehat {COD} = \widehat {COM} + \widehat {DOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM} + \frac{1}{2}\widehat {BOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = \frac{1}{2}.180^\circ = 90^\circ \)

Do đó tam giác COD vuông tại O

Mà OM ⊥ CD

Suy ra OM² = CM . DM (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà CA = CM, DB = DM, \(OM = \frac{1}{2}AB\)

Suy ra \(CA.DB = \frac{{A{B^2}}}{4}\)

b) Vì AC // BD nên \(\frac{{AC}}{{B{\rm{D}}}} = \frac{{AN}}{{N{\rm{D}}}} = \frac{{CN}}{{NB}}\)

Mà CA = CM, DB = DM (chứng minh câu a)

Suy ra \(\frac{{CM}}{{DM}} = \frac{{AN}}{{N{\rm{D}}}}\)

Xét tam giác ACD có \(\frac{{CM}}{{DM}} = \frac{{AN}}{{N{\rm{D}}}}\)

Suy ra MN // CA

Mà AC ⊥ AB

Do đó MN ⊥ AB

c) Xét tam giác ACE vuông tại A có

\[\sin \widehat E = \frac{{CA}}{{CE}}\]

Mà CA = CM

Suy ra \[\sin \widehat E = \frac{{CM}}{{CE}}\]             (1)

Xét tam giác EBD vuông tại B có

\[\sin \widehat E = \frac{{B{\rm{D}}}}{{DE}}\]

Mà BD = DM

Suy ra \[\sin \widehat E = \frac{{DM}}{{DE}}\]                      (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{CM}}{{CE}} = \frac{{DM}}{{DE}}\)

d) Gọi giao điểm của MN với AB là H

Giao điểm của AN với AC và BD lần lượt là I và K

Xét (O) đường kính AB có MN ⊥ AO

Mà MN cắt AO tại H

Suy ra H là trung điểm của AO

Xét tam giác DBE có MH // BD

Suy ra \(\frac{{MN}}{{DK}} = \frac{{NH}}{{BK}}\)

Do đó \(\frac{{MN}}{{NH}} = \frac{{DK}}{{BK}}\)                      (3)

Gọi giao điểm của MB và HD là E

Xét tam giác DKE có MN // KD

Suy ra \(\frac{{NH}}{{DK}} = \frac{{NE}}{{EK}}\)

Xét tam giác BKE có MN // BK

Suy ra \(\frac{{NM}}{{BK}} = \frac{{NE}}{{EK}}\)

Mà \(\frac{{NH}}{{DK}} = \frac{{NE}}{{EK}}\)

Do đó \(\frac{{NH}}{{DK}} = \frac{{MN}}{{BK}}\)

Hay \(\frac{{NM}}{{MH}} = \frac{{BK}}{{DK}}\)                                  (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{{DK}}{{BK}} = \frac{{BK}}{{DK}}\)

Do đó DK = BK, MN = NH

Hay EN đi qua trung điểm K của đoạn thẳng BD

Xét tam giác EHM có CA // MH

Suy ra \(\frac{{CI}}{{MN}} = \frac{{AI}}{{NH}}\)

Mà MN = NH

Suy ra CI = AI

Hay EN đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AC

Vậy EN đi qua trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD.