Câu hỏi:

16/08/2023 453

Cho Ax, By là các tiếp tuyến của \(\left( {O;\frac{{AB}}{2}} \right)\). Tiếp tuyến tại M của (O) cắt Ax, By, AB lần lượt tại C, D, E. AD và BC cắt nhau tại N

a) Tính AC. BD theo AB

b) Chứng minh MN vuông góc AB

c) So sánh 2 tỉ số \(\frac{{CM}}{{CE}};\frac{{DM}}{{DE}}\).

d) Chứng minh rằng đường thẳng EN đi qua trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
Cho Ax, By là các tiếp tuyến của (o; AB/2). Tiếp tuyến tại M của (O) cắt Ax, By (ảnh 1)

a) Xét (O) có CA, CM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C

Suy ra CA = CM, OC là tia phân giác của \(\widehat {AOM}\)

Do đó \(\widehat {COM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM}\)

Xét (O) có DB, DM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D

Suy ra DB = DM, OD là tia phân giác của \(\widehat {BOM}\)

Do đó \(\widehat {DOM} = \frac{1}{2}\widehat {BOM}\)

Ta có: \(\widehat {COD} = \widehat {COM} + \widehat {DOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM} + \frac{1}{2}\widehat {BOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = \frac{1}{2}.180^\circ = 90^\circ \)

Do đó tam giác COD vuông tại O

Mà OM CD

Suy ra OM2 = CM . DM (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà CA = CM, DB = DM, \(OM = \frac{1}{2}AB\)

Suy ra \(CA.DB = \frac{{A{B^2}}}{4}\)

b) Vì AC // BD nên \(\frac{{AC}}{{B{\rm{D}}}} = \frac{{AN}}{{N{\rm{D}}}} = \frac{{CN}}{{NB}}\)

Mà CA = CM, DB = DM (chứng minh câu a)

Suy ra \(\frac{{CM}}{{DM}} = \frac{{AN}}{{N{\rm{D}}}}\)

Xét tam giác ACD có \(\frac{{CM}}{{DM}} = \frac{{AN}}{{N{\rm{D}}}}\)

Suy ra MN // CA

Mà AC AB

Do đó MN AB

c) Xét tam giác ACE vuông tại A có

\[\sin \widehat E = \frac{{CA}}{{CE}}\]

Mà CA = CM

Suy ra \[\sin \widehat E = \frac{{CM}}{{CE}}\]             (1)

Xét tam giác EBD vuông tại B có

\[\sin \widehat E = \frac{{B{\rm{D}}}}{{DE}}\]

Mà BD = DM

Suy ra \[\sin \widehat E = \frac{{DM}}{{DE}}\]                      (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{CM}}{{CE}} = \frac{{DM}}{{DE}}\)

d) Gọi giao điểm của MN với AB là H

Giao điểm của AN với AC và BD lần lượt là I và K

Xét (O) đường kính AB có MN AO

Mà MN cắt AO tại H

Suy ra H là trung điểm của AO

Xét tam giác DBE có MH // BD

Suy ra \(\frac{{MN}}{{DK}} = \frac{{NH}}{{BK}}\)

Do đó \(\frac{{MN}}{{NH}} = \frac{{DK}}{{BK}}\)                      (3)

Gọi giao điểm của MB và HD là E

Xét tam giác DKE có MN // KD

Suy ra \(\frac{{NH}}{{DK}} = \frac{{NE}}{{EK}}\)

Xét tam giác BKE có MN // BK

Suy ra \(\frac{{NM}}{{BK}} = \frac{{NE}}{{EK}}\)

\(\frac{{NH}}{{DK}} = \frac{{NE}}{{EK}}\)

Do đó \(\frac{{NH}}{{DK}} = \frac{{MN}}{{BK}}\)

Hay \(\frac{{NM}}{{MH}} = \frac{{BK}}{{DK}}\)                                  (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{{DK}}{{BK}} = \frac{{BK}}{{DK}}\)

Do đó DK = BK, MN = NH

Hay EN đi qua trung điểm K của đoạn thẳng BD

Xét tam giác EHM có CA // MH

Suy ra \(\frac{{CI}}{{MN}} = \frac{{AI}}{{NH}}\)

Mà MN = NH

Suy ra CI = AI

Hay EN đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AC

Vậy EN đi qua trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

\(P = {\log _{\sqrt[3]{a}}}{a^3} = {\log _{{a^{\frac{1}{3}}}}}{a^3} = 3.3{\log _a}a = 9\,\,\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\)

Vậy ta chọn đáp án C.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: y’ > 0 3f’(x + 2) – 3x2 + 3 > 0

3f’(x + 2) > 3x2 – 3

f’(x + 2) > x2 – 1

Đặt t = x + 2, suy ra x = t – 2.

Khi đó f’(t) > (t – 2)2 – 1

Chọn t sao cho \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {t - 2} \right)^2} - 1 < 0\\f'\left( t \right) > 0\end{array} \right.\)           

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < t - 2 < 1\\t \in \left( {1;2} \right) \cup \left( {2;3} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 < t < 3\\t \in \left( {1;2} \right) \cup \left( {2;3} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < t < 2\\2 < t < 3\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < x + 2 < 2\\2 < x + 2 < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < x < 0\\0 < x < 1\end{array} \right.\)

Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (–1; 0) và (0; 1).

Vậy ta chọn đáp án C.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP