Câu hỏi:
16/08/2023 404
Cho Ax, By là các tiếp tuyến của \(\left( {O;\frac{{AB}}{2}} \right)\). Tiếp tuyến tại M của (O) cắt Ax, By, AB lần lượt tại C, D, E. AD và BC cắt nhau tại N
a) Tính AC. BD theo AB
b) Chứng minh MN vuông góc AB
c) So sánh 2 tỉ số \(\frac{{CM}}{{CE}};\frac{{DM}}{{DE}}\).
d) Chứng minh rằng đường thẳng EN đi qua trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD.
Cho Ax, By là các tiếp tuyến của \(\left( {O;\frac{{AB}}{2}} \right)\). Tiếp tuyến tại M của (O) cắt Ax, By, AB lần lượt tại C, D, E. AD và BC cắt nhau tại N
a) Tính AC. BD theo AB
b) Chứng minh MN vuông góc AB
c) So sánh 2 tỉ số \(\frac{{CM}}{{CE}};\frac{{DM}}{{DE}}\).
d) Chứng minh rằng đường thẳng EN đi qua trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD.Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Xét (O) có CA, CM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C
Suy ra CA = CM, OC là tia phân giác của \(\widehat {AOM}\)
Do đó \(\widehat {COM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM}\)
Xét (O) có DB, DM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D
Suy ra DB = DM, OD là tia phân giác của \(\widehat {BOM}\)
Do đó \(\widehat {DOM} = \frac{1}{2}\widehat {BOM}\)
Ta có: \(\widehat {COD} = \widehat {COM} + \widehat {DOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM} + \frac{1}{2}\widehat {BOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = \frac{1}{2}.180^\circ = 90^\circ \)
Do đó tam giác COD vuông tại O
Mà OM ⊥ CD
Suy ra OM2 = CM . DM (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Mà CA = CM, DB = DM, \(OM = \frac{1}{2}AB\)
Suy ra \(CA.DB = \frac{{A{B^2}}}{4}\)
b) Vì AC // BD nên \(\frac{{AC}}{{B{\rm{D}}}} = \frac{{AN}}{{N{\rm{D}}}} = \frac{{CN}}{{NB}}\)
Mà CA = CM, DB = DM (chứng minh câu a)
Suy ra \(\frac{{CM}}{{DM}} = \frac{{AN}}{{N{\rm{D}}}}\)
Xét tam giác ACD có \(\frac{{CM}}{{DM}} = \frac{{AN}}{{N{\rm{D}}}}\)
Suy ra MN // CA
Mà AC ⊥ AB
Do đó MN ⊥ AB
c) Xét tam giác ACE vuông tại A có
\[\sin \widehat E = \frac{{CA}}{{CE}}\]
Mà CA = CM
Suy ra \[\sin \widehat E = \frac{{CM}}{{CE}}\] (1)
Xét tam giác EBD vuông tại B có
\[\sin \widehat E = \frac{{B{\rm{D}}}}{{DE}}\]
Mà BD = DM
Suy ra \[\sin \widehat E = \frac{{DM}}{{DE}}\] (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{CM}}{{CE}} = \frac{{DM}}{{DE}}\)
d) Gọi giao điểm của MN với AB là H
Giao điểm của AN với AC và BD lần lượt là I và K
Xét (O) đường kính AB có MN ⊥ AO
Mà MN cắt AO tại H
Suy ra H là trung điểm của AO
Xét tam giác DBE có MH // BD
Suy ra \(\frac{{MN}}{{DK}} = \frac{{NH}}{{BK}}\)
Do đó \(\frac{{MN}}{{NH}} = \frac{{DK}}{{BK}}\) (3)
Gọi giao điểm của MB và HD là E
Xét tam giác DKE có MN // KD
Suy ra \(\frac{{NH}}{{DK}} = \frac{{NE}}{{EK}}\)
Xét tam giác BKE có MN // BK
Suy ra \(\frac{{NM}}{{BK}} = \frac{{NE}}{{EK}}\)
Mà \(\frac{{NH}}{{DK}} = \frac{{NE}}{{EK}}\)
Do đó \(\frac{{NH}}{{DK}} = \frac{{MN}}{{BK}}\)
Hay \(\frac{{NM}}{{MH}} = \frac{{BK}}{{DK}}\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{{DK}}{{BK}} = \frac{{BK}}{{DK}}\)
Do đó DK = BK, MN = NH
Hay EN đi qua trung điểm K của đoạn thẳng BD
Xét tam giác EHM có CA // MH
Suy ra \(\frac{{CI}}{{MN}} = \frac{{AI}}{{NH}}\)
Mà MN = NH
Suy ra CI = AI
Hay EN đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AC
Vậy EN đi qua trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD.
Sách thầy cô Vietjack biên soạn
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho a là số thực dương, a ≠ 1 và \(P = {\log _{\sqrt[3]{a}}}{a^3}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Cho a là số thực dương, a ≠ 1 và \(P = {\log _{\sqrt[3]{a}}}{a^3}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Xem đáp án »
16/08/2023
24,060
Câu 2:
Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Hàm số y = 3f(x + 2) – x3 + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Hàm số y = 3f(x + 2) – x3 + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Xem đáp án »
16/08/2023
12,618
Câu 3:
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3f(x2 – 4x) = m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng (0; +∞)?
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3f(x2 – 4x) = m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng (0; +∞)?
Xem đáp án »
16/08/2023
8,569
Câu 6:
Cho x, y là các số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?
Cho x, y là các số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?
Xem đáp án »
16/08/2023
3,800
Câu 7:
Hình bình hành ABCD có AC ⊥ AD và AD = 3,5; \(\widehat D = 50^\circ \). Tính diện tích ABCD.
Hình bình hành ABCD có AC ⊥ AD và AD = 3,5; \(\widehat D = 50^\circ \). Tính diện tích ABCD.
Xem đáp án »
12/07/2024
2,837
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
-
62 câu Trắc nghiệm Khái niệm về khối đa diện (nhận biết)
-
80 câu Bài tập Hình học Khối đa diện có lời giải chi tiết (P1)
-
148 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu từ đề thi Đại học có lời giải (P1)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận