7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 73)

Đáp án đúng là: C

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0}\\{\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0}\\{[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ].\overrightarrow {AH} = 0}\end{array}} \right.\)

Ta giả sử \(H(x,y,z)\), ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {BC} = (0; - 3; - 4)\\\overrightarrow {AC} = ( - 2;0; - 4)\\\overrightarrow {AH} = (x - 2;y;z)\\\overrightarrow {BH} = (x;y - 3;z)\\\overrightarrow {AB} = ( - 2;3;0)\end{array}\)

Vì \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow 3y + 4z = 0\)                     (1)

Vì \(\overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow x + 2z = 0\)                   (2)

Ta có: \([\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = ( - 12; - 8;6)\)

Suy ra \[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] \cdot \overrightarrow {AH} = 0\]

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 12(x - 2) - 8y + 6z = 0\\ \Leftrightarrow - 6x - 4y + 3z + 12 = 0\end{array}\)          (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3y + 4z = 0}\\{x + 2z = 0}\\{ - 6x - 4y + 3z + 12 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{72}}{{61}}}\\{y = \frac{{48}}{{61}}}\\{z = \frac{{ - 36}}{{61}}}\end{array}} \right.\)

Suy ra \(H\left( {\frac{{72}}{{61}};\frac{{48}}{{61}};\frac{{ - 36}}{{61}}} \right)\)

Do đó \(\overrightarrow {OH} = \left( {\frac{{72}}{{61}};\frac{{48}}{{61}};\frac{{ - 36}}{{61}}} \right)\) là vecto chỉ phương của OH

Chọn \(\vec u = (6,4, - 3)\) là VTCP của OH và OH qua O(0; 0; 0) nên phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 6t\\y = 4t\\z = - 3t\end{array} \right.\)

Vậy đáp án cần chọn là C.

Ta thấy tổng 5 chữ số nhỏ nhất là 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Tổng 5 chữ số lớn nhất là 3 + 4 + 5 + 6 + 7 =25

Do đó tổng của 5 chữ số luôn nằm nữa 15 và 25. Do đó tổng đó chia hết cho 9 nên nó chỉ có thể là 18

Mặt khác tổng của 7 chữ số là 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28

Để có được tổng 18 ta cần loại đi 2 chữ số có tổng bằng 28 – 18 = 10

Do đó có các trường hợp: loại cặp 3; 7 còn 5 số 1; 2 ; 4; 5; 6 hoặc loại cặp 4; 6 còn 5 số 1; 2; 3; 5; 7

Số số thỏa mãn là: 3 . 4! + 1 . 4! = 96 số

Vậy ta lập được 96 số.

Đáp án đúng là: C

Bất phương trình \({\rm{x}} + 5 > 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} > - 5\)

Bất phương trình \({({\rm{x}} - 1)^2}({\rm{x}} + 5) > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x > - 5\end{array} \right.\) nên phương án A sai

Bất phương trình \({x^2}(x + 5) > 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0}\\{x > - 5}\end{array}} \right.\) nên phương án B sai

Bất phương trình \(\sqrt {{\rm{x}} + 5} ({\rm{x}} + 5) > 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} > - 5\) nên phương án \({\rm{C}}\)đúng

Bất phương trình \(\sqrt {x + 5} \left( {x - 5} \right) > 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 5 > 0}\\{x - 5 > 0}\end{array} \Leftrightarrow x > 5} \right.\) nên phương án D sai

Vậy đáp án cần chọn là C.

Đáp án đúng là: B

Phương trình \(2f(\sin x) + 3 = 0 \Leftrightarrow f(\sin x) = - \frac{3}{2}\quad (*)\) có nghiệm trên [–π; 2π]

⇔ Đường thẳng \(y = - \frac{3}{2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f(\sin x)\) tại các điểm trên [–π; 2π]

Đặt \(\sin x = t \Rightarrow x \in [ - \pi ;2\pi ] \Rightarrow t \in [ - 1;1]\)

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có: đường thẳng \(y = - \frac{3}{2}\) cắt đồ thị hàm số y = f(t) tại hai điểm phân biệt

Ta có \((*) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin x = {t_1} \in (0;1)}\\{\sin x = {t_2} \in ( - 1;0)}\end{array}} \right.\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

+) Đường thẳng y = t₁ cắt đồ thị hàm số y = sinx tại hai điểm phân biệt trong [–π; 2π]

+) Đường thẳng y = t₁ cắt đồ thị hàm số y = sinx tại bốn điểm phân biệt trong [–π; 2π]

Như vậy đường thẳng \(y = - \frac{3}{2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f(\sin x)\) tại 6 điểm phân biệt trên [–π; 2π]

Suy ra phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt

Vậy đáp án cần chọn là B.

Đáp án đúng là: D

Vì \(\tan \alpha = \frac{2}{3}\) nên cosα ≠ 0

Chia cả từ và mẫu của \({\rm{M}}\) cho cos³α ta được:

\(M = \frac{{{{\sin }^3}\alpha + 3{{\cos }^3}\alpha }}{{27{{\sin }^3}\alpha - 25{{\cos }^3}\alpha }} = \frac{{\frac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} + 3\frac{{{{\cos }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}}{{27\frac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} - 25\frac{{{{\cos }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}} = \frac{{{{\tan }^3}\alpha + 3}}{{27{{\tan }^3}\alpha - 25}}\)

Thay \(\tan \alpha = \frac{2}{3}\) ta được \(M = \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^3} + 3}}{{27 \cdot {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^3} - 25}} = \frac{{ - 89}}{{459}}\)

Vậy đáp án cần chọn là D.

Đáp án đúng là: A

Vì A, B là tập hợp khác rỗng nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 1 < 4}\\{2m + 2 > - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 5}\\{m > - 2}\end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow - 2 < m < 5\)

Để \(A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow 2m + 2 \le m - 1 \Leftrightarrow m \le - 3\) (không thỏa điều kiện –2 < m < 5)

Do đó không có giá trị nào của m để A ∩ B = ∅

Vậy với mọi \(m \in ( - 2;5)\) thì A ∩ B ≠ ∅

Phương án B sai vì học sinh không tìm điều kiện

Phương án C sai vì học sinh giải sai \(m - 1 > - 2 \Leftrightarrow m > - 1\) và kết hợp với điều kiện

Phương án D sai vì học sinh giải sai \(4 < 2m + 2 \Leftrightarrow m > 1\). Kết hợp với điều kiện

Vậy đáp án cần chọn là A.

Đáp án đúng là: D

Lấy 1 điểm A bất kì thuộc d và 1 điểm B bất kì nằm trên đường thẳng d’

Khi đó, tịnh tiến theo \(\overrightarrow {AB} \) biến đường thẳng d thành d’

Vì A; B là bất kì nên có vô số phép tịnh tiến thỏa mãn 

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: D

Theo định lí hàm sin trong tam giác OAB, ta có:

\(\frac{{OB}}{{\sin \widehat {OAB}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {AOB}}} \Leftrightarrow OB = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {AOB}}}.\sin \widehat {OAB} = \frac{1}{{\sin 30^\circ }}.\sin \widehat {OAB} = 2\sin \widehat {OAB}\)

Do đó, độ dài OB lớn nhất khi và chỉ khi \(\sin \widehat {OAB} = 1 \Leftrightarrow \widehat {OAB} = 90^\circ \)

Khi đó \(OB = 2\sin 90^\circ = 2\)

Vậy đáp án cần chọn là D.