7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 55)

\[\frac{1}{{b + 2c + 3}} \le \frac{1}{{2\left( {\sqrt {bc} + \sqrt c + 1} \right)}};\;\frac{1}{{c + 2a + 3}} \le \frac{1}{{2\left( {\sqrt {ca} + \sqrt a + 1} \right)}}\]

Từ đó suy ra: \(P = \frac{1}{{a + 2b + 3}} + \frac{1}{{b + 2c + 3}} + \frac{1}{{c + 2a + 3}}\)

\[ \le \frac{1}{{2\left( {\sqrt {ab} + \sqrt b + 1} \right)}} + \frac{1}{{2\left( {\sqrt {bc} + \sqrt c + 1} \right)}} + \frac{1}{{2\left( {\sqrt {ca} + \sqrt a + 1} \right)}}\]

Bởi vì \(abc = 1 \Rightarrow \sqrt {abc} = 1\)

\( \Rightarrow P \le \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{\sqrt {ab} + \sqrt b + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {bc} + \sqrt c + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {ca} + \sqrt a + 1}}} \right)\)

\( \Rightarrow P \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt {abc} }}{{\sqrt {ab} + \sqrt b \,.\,\sqrt {abc} + \sqrt {abc} }} + \frac{1}{{\sqrt {bc} + \sqrt c + 1}} + \frac{{\sqrt {abc} }}{{\sqrt {ca} + \sqrt a + \sqrt {abc} }}} \right)\)

\( \Rightarrow P \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt c }}{{1 + \sqrt {bc} + \sqrt c }} + \frac{1}{{\sqrt {bc} + \sqrt c + 1}} + \frac{{\sqrt {bc} }}{{\sqrt c + 1 + \sqrt {bc} }}} \right)\)

\( \Rightarrow P \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt c + 1 + \sqrt {bc} }}{{1 + \sqrt {bc} + \sqrt c }}} \right) = \frac{1}{2}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

Vậy GTLN của P là \(\frac{1}{2}\) khi a = b = c = 1.

Câu 2

Cho các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = \frac{a}{{\sqrt {a + bc} }} + \frac{b}{{\sqrt {b + ca} }} + \frac{c}{{\sqrt {c + ab} }}\).

Xem đáp án

Lời giải

Ta có a + b + c = 1 nên suy ra:

\[\frac{a}{{\sqrt {a + bc} }} = \frac{a}{{\sqrt {a\left( {a + b + c} \right) + bc} }} = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + ab + ac + bc} }}\]

\[ = \frac{a}{{\sqrt {a\left( {a + b} \right) + c\left( {a + b} \right)} }} = \frac{a}{{\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} }} = \sqrt {\frac{a}{{a + b}}} \,.\,\sqrt {\frac{a}{{a + c}}} \]

\( \le \frac{1}{2}\left( {\frac{a}{{a + b}} + \frac{a}{{a + c}}} \right)\)

Làm tương tự như vậy, ta lại có:

\(\frac{b}{{\sqrt {b + ca} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{b}{{b + c}} + \frac{b}{{b + a}}} \right);\;\frac{c}{{\sqrt {c + ab} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{c}{{c + a}} + \frac{c}{{c + b}}} \right)\)

Do đó: \(P = \frac{a}{{\sqrt {a + bc} }} + \frac{b}{{\sqrt {b + ca} }} + \frac{c}{{\sqrt {c + ab} }}\)

\( \le \frac{1}{2}\left( {\frac{a}{{a + b}} + \frac{a}{{a + c}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{b}{{b + c}} + \frac{b}{{b + a}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{c}{{c + a}} + \frac{c}{{c + b}}} \right)\)

\[ = \frac{1}{2}\left( {\frac{a}{{a + b}} + \frac{a}{{a + c}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{b}{{b + a}} + \frac{c}{{c + a}} + \frac{c}{{c + b}}} \right)\]

\[ = \frac{1}{2}\left( {\frac{{a + b}}{{a + b}} + \frac{{a + c}}{{a + c}} + \frac{{b + c}}{{b + c}}} \right)\]

\[ = \frac{1}{2}\left( {1 + 1 + 1} \right) = \frac{3}{2}\].

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\).

Vậy GTLN của P là \(\frac{3}{2}\) khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\).

Câu 3

Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a (ảnh 1)

Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ đều nên AA' ⏊ (ABC) và tam giác ABC đều.

Tam giác ABC là tam giác đều có cạnh a nên \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Cạnh bên của lăng trụ bằng 2a nên AA' = 2a.

Vậy thể tích của khối lăng trụ đã cho là:

\({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'\,.\,{S_{\Delta ABC}} = 2a\,.\,\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).

Câu 4

Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng a. Tính thể tích của khối lăng trụ đó.

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng a. Tính thể (ảnh 1)

Khối lăng trụ đều là khối lăng trụ đứng có các cạnh bên và các cạnh đáy bằng nhau.

Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ đều nên AA' ⏊ (ABC) và tam giác ABC đều.

Tam giác ABC là tam giác đều có cạnh a nên \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Cạnh bên của lăng trụ bằng a nên AA' = a.

Vậy thể tích của khối lăng trụ đã cho là:

\({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'\,.\,{S_{\Delta ABC}} = a\,.\,\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).

Câu 5

Có bao nhiêu giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = |e^2x − 4e^x + m| trên đoạn [0; ln 4] bằng 6?

Xem đáp án

Lời giải

Ta đặt t = e^x, với x Î [0; ln 4] Þ t Î [1; 4]

Khi đó, hàm số trở thành: g (t) = |t² − 4t + m|.

Xét hàm số u (t) = t² − 4t + m trên [1; 4], có u′ (t) = 2t − 4 = 0 Û t = 2.

Ta tính được u (1) = m − 3; u (2) = m − 4; u (4) = m suy ra

g (1) = |m − 3|; g (2) = |m − 4|; g (4) = |m|

• TH1: \[\left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 4} \right| \le \left\{ {\left| {m - 3} \right|;\;\left| m \right|} \right\}\\\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;\;4} \right]} g\left( t \right) = \left| {m - 4} \right| = 6\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 4} \right| \le \left\{ {\left| {m - 3} \right|;\;\left| m \right|} \right\}\\\left[ \begin{array}{l}m - 4 = 6\\m - 4 = - 6\end{array} \right.\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 4} \right| \le \left\{ {\left| {m - 3} \right|;\;\left| m \right|} \right\}\\\left[ \begin{array}{l}m = 10\\m = - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 10\].

• TH2:\[\left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 3} \right| \le \left\{ {\left| {m - 4} \right|;\;\left| m \right|} \right\}\\\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;\;4} \right]} g\left( t \right) = \left| {m - 3} \right| = 6\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 3} \right| \le \left\{ {\left| {m - 4} \right|;\;\left| m \right|} \right\}\\\left[ \begin{array}{l}m - 3 = 6\\m - 3 = - 6\end{array} \right.\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 3} \right| \le \left\{ {\left| {m - 4} \right|;\;\left| m \right|} \right\}\\\left[ \begin{array}{l}m = 9\\m = - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\]

Suy ra trường hợp trên không cho giá trị m thảo mãn.

• TH3: \[\left\{ \begin{array}{l}\left| m \right| \le \left\{ {\left| {m - 3} \right|;\;\left| {m - 4} \right|} \right\}\\\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;\;4} \right]} g\left( t \right) = \left| m \right| = 6\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| m \right| \le \left\{ {\left| {m - 3} \right|;\;\left| {m - 4} \right|} \right\}\\\left[ \begin{array}{l}m = 6\\m = - 6\end{array} \right.\end{array} \right.\]

Û m = −6.

Vậy m Î {−6; 10} là hai giá trị cần tìm.

Câu 6

Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 6x + sin 3x, biết \(F\left( 0 \right) = \frac{2}{3}\).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 55)

🔥 Đề thi HOT:

5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)

79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án

87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án

56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án

80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)

135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)

15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)

7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)

Nội dung liên quan:

237 câu Bài tập Hàm số mũ, logarit ôn thi Đại học có lời giải

240 câu Bài tập Hàm số mũ, logarit ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

215 câu Bài tập Hàm số mũ, logarit cơ bản, nâng cao có lời giải

175 câu Bài tập Số phức cơ bản, nâng cao có lời giải

225 Bài tập Số phức ôn thi Đại học có lời giải

250 câu Bài tập Tích phân ôn thi Đại học có lời giải

213 câu Bài tập Tích phân cơ bản, nâng cao có lời giải

299 Bài trắc nghiệm hàm số mũ, hàm số Logarit siêu hay có lời giải chi tiết

255 Bài trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit cơ bản nâng cao cực hay có lời giải

71 Bài trắc nghiệm Khối đa diện trong đề thi Đại học cực hay có lời giải

Danh sách câu hỏi:

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{a + 2b + 3}} + \frac{1}{{b + 2c + 3}} + \frac{1}{{c + 2a + 3}}\).

Cho các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = \frac{a}{{\sqrt {a + bc} }} + \frac{b}{{\sqrt {b + ca} }} + \frac{c}{{\sqrt {c + ab} }}\).

Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng a. Tính thể tích của khối lăng trụ đó.

Có bao nhiêu giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = |e2x − 4ex + m| trên đoạn [0; ln 4] bằng 6?

Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 6x + sin 3x, biết \(F\left( 0 \right) = \frac{2}{3}\).

Đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có hai điểm cực trị là A(1; −7); B(2; −8). Tính y (−1).

Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d Î ℝ) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số đã cho.

Cho hàm số f (x) = ax4 + bx2 + c (a, b, c Î ℝ). Đồ thị của hàm số y = f (x) như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình 4f (x) − 3 = 0 là:

Cho hàm số f (x) = ax4 + bx2 + c có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hỏi phương trình 2f (x) = −1 có bao nhiêu nghiệm?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).

Cho hình chóp S ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách từ A đến (SCD).

Cho x, y là hai số không âm thỏa mãn x + y = 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + {y^2} - x + 1\).

Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn: x2 − 2xy + x − 2y ≤ 0. Tìm GTLN của M = x2 − 5y2 + 3x.

Giải phương trình \(3\sin 3x + \sqrt 3 \cos 9x = 1 + 4{\sin ^3}3x\).

Giải phương trình: \(3\sin 3x - \sqrt 3 \cos 9x = 1 + 4{\sin ^3}3x\).

Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 − 6x + 1 và trục hoành.

Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng d1: y = x; d2: y = 4 − 3x và d3: y = mx − 3 đồng quy?

Tam giác đều cạnh a nội tiếp trong đường tròn bán kính R. Khi đó bán kính R bằng bao nhiêu?

Giải phương trình: \(\tan x - 3\cot x = 4\left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right)\).

Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y = sin²x + 2sinx.cosx − cos²x + 5.

Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y = sin2 x + cosx + 2

Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển của biểu thức \({\left( {3{x^3} - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^5}\)

Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển \(f\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{4}{x^2} + x + 1} \right)^2}{\left( {x + 2} \right)^{3n}}\) với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức \(A_n^3 + C_n^{n - 2} = 14n\)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y = \frac{{m{x^3}}}{3} + 7m{x^2} + 14x - m + 2\) nghịch biến trên [1; +∞).

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = \sqrt {5 - m\sin x - \left( {m + 1} \right)\cos x} \) xác định trên ℝ?

Gọi x0 là nghiệm dương của phương trình \({4^{{x^2} - 2x}} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{x + 1}}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\;\frac{\pi }{2}} \right)\) của phương trình 4sin2 2x − 1 = 0.

Giải phương trình sau: \({7^x}\,.\,{27^{\left( {1\, - \,\frac{1}{x}} \right)}} = 3087\).

Giải phương trình: \({2^{{x^2}\, - \,x\, + \,8}} = {4^{1\, - \,3x}}\).

Với giá trị lớn nhất của a bằng bao nhiêu để phương trình asin2 x + 2sin 2x + 3acos2 x = 2 có nghiệm?

Cho hàm số f (x) đồng biến trên khoảng (a; b). Mệnh đề nào sau đây sai?

Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng (a; b). Mệnh đề nào sau đây sai?

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính tỉ số thể tích của khối chóp S.MNPQ và khối chóp S.ABCD.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M và N theo thứ tự là trung điểm của SA và SB. Tính tỉ số thể tích \(\frac{{{V_{S.CDMN}}}}{{{V_{S.CDAB}}}}\).

Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V, hai điểm M và P lần lượt là trung điểm AB, CD điểm N thuộc AD sao cho AD = 3AN. Tính thể tích tứ diện BMNP.

Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD và P là một điểm thuộc cạnh BC (P không trùng trung điểm cạnh BC). Tìm thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNP).

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [−10; 10] để đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {m{x^2} - 4} }}{{x - 1}}\) có ba đường tiệm cận?

Có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc khoảng (−10; 10) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x\left( {x - m} \right)} - 1}}{{x + 2}}\) có đúng ba đường tiệm cận?

Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác nhau.

Từ các chữ số: 1; 2; 3; 4; 5; 6. Có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau và tổng của ba số đó chia hết cho 3.

Cho phương trình 3x + m = log3 (x − m) với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của mÎ (−15; 15) để phương trình đã cho có nghiệm?

Phương trình log (x2 + mx) = log (x + m − 1) có nghiệm duy nhất khi giá trị của m là bao nhiêu?

Gọi x0 là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 3sin2 x + 2sin xcos x − cos2 x = 0. Chọn khẳng định đúng.

Cho x thỏa mãn \(2\sin 2x - 3\sqrt 6 \left| {\sin x + \cos x} \right| + 8 = 0\). Tính sin 2x.

Phương trình \(2\sin 2x - 3\sqrt 6 \left| {\sin x + \cos x} \right| + 8 = 0\) có nghiệm là:

Cho hàm số y = −x3 + 3x2 + 9x − 2 đạt cực trị tại x1, x2. Tính giá trị của biểu thức S = x12 + x22.

Cho hàm số y = −x3 + 3x2 + 6x. Hàm số đạt cực trị tại hai điểm x1, x2. Khi đó giá trị của biểu thức S = x12 + x22 bằng:

Cho hàm số y = (m − 1)x3 + (m − 1)x2 − 2x + 5 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞)?

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = (m − 1)x3 − 3(m − 1)x2 + 3x + 2 đồng biến biến trên ℝ.

Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 viên bi đỏ khác nhau và 8 viên bi đen khác nhau thành một dãy sao cho hai viên bi cùng màu không được ở cạnh nhau?

Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số lẻ?

Có bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số, điều kiện là hai số này phải khác nhau hoàn toàn?

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hàm số y = f (x). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Khẳng định nào sau đây là sai?

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Có bao nhiêu giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = |e^2x − 4e^x + m| trên đoạn [0; ln 4] bằng 6?

Đồ thị hàm số y = ax³ + bx² + cx + d có hai điểm cực trị là A(1; −7); B(2; −8). Tính y (−1).

Cho hàm số y = ax³ + bx² + cx + d (a, b, c, d Î ℝ) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số đã cho.

Cho hàm số f (x) = ax⁴ + bx² + c (a, b, c Î ℝ). Đồ thị của hàm số y = f (x) như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình 4f (x) − 3 = 0 là:

Cho hàm số f (x) = ax⁴ + bx² + c có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hỏi phương trình 2f (x) = −1 có bao nhiêu nghiệm?

Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn: x² − 2xy + x − 2y ≤ 0. Tìm GTLN của M = x² − 5y² + 3x.

Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y = x³ − 3x² − 6x + 1 và trục hoành.

Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng d₁: y = x; d₂: y = 4 − 3x và d₃: y = mx − 3 đồng quy?

Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y = sin² x + cosx + 2

Tìm hệ số của số hạng chứa x¹⁰ trong khai triển của biểu thức \({\left( {3{x^3} - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^5}\)

Tìm hệ số của số hạng chứa x¹⁰ trong khai triển \(f\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{4}{x^2} + x + 1} \right)^2}{\left( {x + 2} \right)^{3n}}\) với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức \(A_n^3 + C_n^{n - 2} = 14n\)

Gọi x₀ là nghiệm dương của phương trình \({4^{{x^2} - 2x}} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{x + 1}}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\;\frac{\pi }{2}} \right)\) của phương trình

4sin² 2x − 1 = 0.

Với giá trị lớn nhất của a bằng bao nhiêu để phương trình asin² x + 2sin 2x + 3acos² x = 2 có nghiệm?

Cho phương trình 3^x + m = log₃ (x − m) với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của mÎ (−15; 15) để phương trình đã cho có nghiệm?

Phương trình log (x² + mx) = log (x + m − 1) có nghiệm duy nhất khi giá trị của m là bao nhiêu?

Gọi x₀ là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 3sin² x + 2sin xcos x − cos² x = 0. Chọn khẳng định đúng.

Cho hàm số y = −x³ + 3x² + 9x − 2 đạt cực trị tại x₁, x₂. Tính giá trị của biểu thức S = x₁² + x₂².

Cho hàm số y = −x³ + 3x² + 6x. Hàm số đạt cực trị tại hai điểm x₁, x₂. Khi đó giá trị của biểu thức S = x₁² + x₂² bằng:

Cho hàm số y = (m − 1)x³ + (m − 1)x² − 2x + 5 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞)?

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = (m − 1)x³ − 3(m − 1)x² + 3x + 2 đồng biến biến trên ℝ.

Giải phương trình 2^{2x + 1} = 32.

Khi đặt 2^x = t, phương trình 2^{2x + 1} − 2^{x − 1} − 1 = 0 trở thành phương trình:

Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ¢(x) = (x − 1)(x² − 2)(x⁴ − 4). Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f (x).

Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ¢(x) = (x + 1)²(x − 2)³(2x + 3), "x Î ℝ. Tìm số điểm cực trị của hàm số đã cho.

Có bao nhiêu giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) =
|e^2x − 4e^x + m| trên đoạn [0; ln 4] bằng 6?

Cho hàm số f (x) thỏa mãn f ′(x) = 3 − 4e^2x và f (0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Đồ thị hàm số y = ax³ + bx² + cx + d có hai điểm cực trị là A(1; −7); B(2; −8). Tính y (−1).

Cho hàm số y = ax³ + bx² + cx + d (a, b, c, d Î ℝ) có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

Cho hàm số f (x) = ax⁴ + bx² + c (a, b, c Î ℝ). Đồ thị của hàm số y = f (x) như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình 4f (x) − 3 = 0 là:

Cho hàm số f (x) = ax⁴ + bx² + c có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hỏi phương trình 2f (x) = −1 có bao nhiêu nghiệm?

Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn: x² − 2xy + x − 2y ≤ 0.

Tìm GTLN của M = x² − 5y² + 3x.