Câu hỏi:

12/07/2024 23,731

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều (ảnh 1)

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều (ảnh 2)

Gọi H là trung điểm của AB suy ra SH AB .

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\end{array} \right.\) nên SH (ABCD)

Gọi O = AC Ç BD.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC \cap \left( {SBD} \right) = O\\AO = OC\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {C,\;\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\;\left( {SBD} \right)} \right)\)

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}AH \cap \left( {SBD} \right) = B\\AB = 2HB\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {A,\;\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {H,\;\left( {SBD} \right)} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {H,\;\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\;\left( {SBD} \right)} \right)\)

Do đó \(\frac{{d\left( {C,\;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\;\left( {SBD} \right)} \right)}} = \frac{{d\left( {A,\;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{\frac{1}{2}d\left( {A,\;\left( {SBD} \right)} \right)}} = 2\).

Kẻ HM BD (M Î BD), kẻ HK SM tại K

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot HM\\BD \bot SH\;\left( {do\;SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow BD \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow BD \bot HK\).

Lại có HK SM Þ HK (SBD) tại K Þ HK = d(H, (SBD)).

Vì ABCD là hình vuông nên AO BD mà HM BD Þ HM // AO.

Lại có H là trung điểm của AB nên M là trung điểm của BO.

Suy ra HM là đường trung bình của tam giác ABO

\( \Rightarrow HM = \frac{{AO}}{2} = \frac{1}{2}\,.\,\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\).

Xét tam giác SMH vuông tại H, ta có \(HM = \frac{{a\sqrt 2 }}{4};\;SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) nên

\(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{{28}}{{3{a^2}}}\)

\( \Rightarrow HK = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}} \Rightarrow d\left( {C,\;\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {H,\;\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) bằng \(\frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Giải phương trình: \({2^{{x^2}\, - \,x\, + \,8}} = {4^{1\, - \,3x}}\).

Xem đáp án » 12/07/2024 7,629

Câu 2:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [−10; 10] để đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {m{x^2} - 4} }}{{x - 1}}\) có ba đường tiệm cận?

Xem đáp án » 12/07/2024 6,532

Câu 3:

Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y = sin2 x + cosx + 2

Xem đáp án » 12/07/2024 5,227

Câu 4:

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{a + 2b + 3}} + \frac{1}{{b + 2c + 3}} + \frac{1}{{c + 2a + 3}}\).

Xem đáp án » 12/07/2024 4,785

Câu 5:

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = (m − 1)x3 − 3(m − 1)x2 + 3x + 2 đồng biến biến trên ℝ.

Xem đáp án » 12/07/2024 4,203

Câu 6:

Cho hình chóp S ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách từ A đến (SCD).

Xem đáp án » 12/07/2024 4,060
Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua