Câu hỏi:
12/07/2024 4,861
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{a + 2b + 3}} + \frac{1}{{b + 2c + 3}} + \frac{1}{{c + 2a + 3}}\).
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{a + 2b + 3}} + \frac{1}{{b + 2c + 3}} + \frac{1}{{c + 2a + 3}}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: a + 2b + 3 = (a + b) + (b + 1) + 2
\( \ge 2\sqrt {ab} + 2\sqrt b + 2\)
\[ \Rightarrow \frac{1}{{a + 2b + 3}} \le \frac{1}{{2\left( {\sqrt {ab} + \sqrt b + 1} \right)}}\]
Làm tương tự như vậy, ta lại có:
\[\frac{1}{{b + 2c + 3}} \le \frac{1}{{2\left( {\sqrt {bc} + \sqrt c + 1} \right)}};\;\frac{1}{{c + 2a + 3}} \le \frac{1}{{2\left( {\sqrt {ca} + \sqrt a + 1} \right)}}\]
Từ đó suy ra: \(P = \frac{1}{{a + 2b + 3}} + \frac{1}{{b + 2c + 3}} + \frac{1}{{c + 2a + 3}}\)
\[ \le \frac{1}{{2\left( {\sqrt {ab} + \sqrt b + 1} \right)}} + \frac{1}{{2\left( {\sqrt {bc} + \sqrt c + 1} \right)}} + \frac{1}{{2\left( {\sqrt {ca} + \sqrt a + 1} \right)}}\]
Bởi vì \(abc = 1 \Rightarrow \sqrt {abc} = 1\)
\( \Rightarrow P \le \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{\sqrt {ab} + \sqrt b + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {bc} + \sqrt c + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {ca} + \sqrt a + 1}}} \right)\)
\( \Rightarrow P \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt {abc} }}{{\sqrt {ab} + \sqrt b \,.\,\sqrt {abc} + \sqrt {abc} }} + \frac{1}{{\sqrt {bc} + \sqrt c + 1}} + \frac{{\sqrt {abc} }}{{\sqrt {ca} + \sqrt a + \sqrt {abc} }}} \right)\)
\( \Rightarrow P \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt c }}{{1 + \sqrt {bc} + \sqrt c }} + \frac{1}{{\sqrt {bc} + \sqrt c + 1}} + \frac{{\sqrt {bc} }}{{\sqrt c + 1 + \sqrt {bc} }}} \right)\)
\( \Rightarrow P \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt c + 1 + \sqrt {bc} }}{{1 + \sqrt {bc} + \sqrt c }}} \right) = \frac{1}{2}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Vậy GTLN của P là \(\frac{1}{2}\) khi a = b = c = 1.
Sách thầy cô Vietjack biên soạn
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).
Xem đáp án »
12/07/2024
24,776
Câu 2:
Giải phương trình: \({2^{{x^2}\, - \,x\, + \,8}} = {4^{1\, - \,3x}}\).
Giải phương trình: \({2^{{x^2}\, - \,x\, + \,8}} = {4^{1\, - \,3x}}\).
Xem đáp án »
12/07/2024
7,747
Câu 3:
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [−10; 10] để đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {m{x^2} - 4} }}{{x - 1}}\) có ba đường tiệm cận?
Xem đáp án »
12/07/2024
6,542
Câu 5:
Cho hình chóp S ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách từ A đến (SCD).
Cho hình chóp S ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách từ A đến (SCD).
Xem đáp án »
12/07/2024
4,242
Câu 6:
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = (m − 1)x3 − 3(m − 1)x2 + 3x + 2 đồng biến biến trên ℝ.
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = (m − 1)x3 − 3(m − 1)x2 + 3x + 2 đồng biến biến trên ℝ.
Xem đáp án »
12/07/2024
4,224
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
80 câu Bài tập Hình học Khối đa diện có lời giải chi tiết (P1)
-
148 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu từ đề thi Đại học có lời giải (P1)
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
-
62 câu Trắc nghiệm Khái niệm về khối đa diện (nhận biết)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận