Câu hỏi:
12/07/2024 5,302
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{a + 2b + 3}} + \frac{1}{{b + 2c + 3}} + \frac{1}{{c + 2a + 3}}\).
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{a + 2b + 3}} + \frac{1}{{b + 2c + 3}} + \frac{1}{{c + 2a + 3}}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: a + 2b + 3 = (a + b) + (b + 1) + 2
\( \ge 2\sqrt {ab} + 2\sqrt b + 2\)
\[ \Rightarrow \frac{1}{{a + 2b + 3}} \le \frac{1}{{2\left( {\sqrt {ab} + \sqrt b + 1} \right)}}\]
Làm tương tự như vậy, ta lại có:
\[\frac{1}{{b + 2c + 3}} \le \frac{1}{{2\left( {\sqrt {bc} + \sqrt c + 1} \right)}};\;\frac{1}{{c + 2a + 3}} \le \frac{1}{{2\left( {\sqrt {ca} + \sqrt a + 1} \right)}}\]
Từ đó suy ra: \(P = \frac{1}{{a + 2b + 3}} + \frac{1}{{b + 2c + 3}} + \frac{1}{{c + 2a + 3}}\)
\[ \le \frac{1}{{2\left( {\sqrt {ab} + \sqrt b + 1} \right)}} + \frac{1}{{2\left( {\sqrt {bc} + \sqrt c + 1} \right)}} + \frac{1}{{2\left( {\sqrt {ca} + \sqrt a + 1} \right)}}\]
Bởi vì \(abc = 1 \Rightarrow \sqrt {abc} = 1\)
\( \Rightarrow P \le \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{\sqrt {ab} + \sqrt b + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {bc} + \sqrt c + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {ca} + \sqrt a + 1}}} \right)\)
\( \Rightarrow P \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt {abc} }}{{\sqrt {ab} + \sqrt b \,.\,\sqrt {abc} + \sqrt {abc} }} + \frac{1}{{\sqrt {bc} + \sqrt c + 1}} + \frac{{\sqrt {abc} }}{{\sqrt {ca} + \sqrt a + \sqrt {abc} }}} \right)\)
\( \Rightarrow P \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt c }}{{1 + \sqrt {bc} + \sqrt c }} + \frac{1}{{\sqrt {bc} + \sqrt c + 1}} + \frac{{\sqrt {bc} }}{{\sqrt c + 1 + \sqrt {bc} }}} \right)\)
\( \Rightarrow P \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt c + 1 + \sqrt {bc} }}{{1 + \sqrt {bc} + \sqrt c }}} \right) = \frac{1}{2}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Vậy GTLN của P là \(\frac{1}{2}\) khi a = b = c = 1.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới)
Đã bán 1,5k
₫ 70.000
₫ 36.000
Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025)
Đã bán 1,1k
₫ 70.000
₫ 36.000
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).
Xem đáp án »
12/07/2024
27,387
Câu 2:
Giải phương trình: \({2^{{x^2}\, - \,x\, + \,8}} = {4^{1\, - \,3x}}\).
Giải phương trình: \({2^{{x^2}\, - \,x\, + \,8}} = {4^{1\, - \,3x}}\).
Xem đáp án »
12/07/2024
8,109
Câu 3:
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [−10; 10] để đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {m{x^2} - 4} }}{{x - 1}}\) có ba đường tiệm cận?
Xem đáp án »
12/07/2024
6,620
Câu 5:
Cho hình chóp S ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách từ A đến (SCD).
Cho hình chóp S ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách từ A đến (SCD).
Xem đáp án »
12/07/2024
4,921
Câu 6:
Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.
Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.
Xem đáp án »
12/07/2024
4,725
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
-
62 câu Trắc nghiệm Khái niệm về khối đa diện (nhận biết)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận