Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [−10; 10] để đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {m{x^2} - 4} }}{{x - 1}}\) có ba đường tiệm cận?

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}m{x^2} \ge 4\\x \ne 1\end{array} \right. \Rightarrow m > 0\)

Ta có:

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {m{x^2} - 4} }}{{x - 1}} = \sqrt m \)

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {m{x^2} - 4} }}{{x - 1}} = - \sqrt m \)

Suy ra đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang \(y = \pm \sqrt m ,\,\;\left( {m > 0} \right)\)

Để đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {m{x^2} - 4} }}{{x - 1}}\) có 3 đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có 1 đường tiệm cận đứng.

Suy ra x = 1 phải thỏa mãn điều kiện mx² ≥ 4 Û m ≥ 4.

Do đó, m ≥ 4 thì hàm số đã cho có 1 đường tiệm cận đứng và 2 đường tiệm cận ngang.

Mặt khác, m Î [−10; 10], m Î ℤ nên m Î {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}.

Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài toán.