Phương trình \(2\sin 2x - 3\sqrt 6 \left| {\sin x + \cos x} \right| + 8 = 0\) có nghiệm là:

\(2\sin 2x - 3\sqrt 6 \left| {\sin x + \cos x} \right| + 8 = 0\)

\( \Leftrightarrow 2\sin 2x + 8 = 3\sqrt 6 \left| {\sin x + \cos x} \right|\)

Bình phương hai vế, suy ra phương trình trên tương đương:

(2sin 2x + 8)² = 54|sin x + cos x|²

Û 4(sin² 2x + 8sin 2x + 16) = 54(sin² x + 2sin xcos x + cos² x)

Û 2sin² 2x + 16sin 2x + 32 = 27(1 + sin 2x)

Û 2sin² 2x + 16sin 2x + 32 = 27 + 27sin 2x

Û 2sin² 2x − 11sin 2x + 5 = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 5\;\;\left( {KTM} \right)\\\sin 2x = \frac{1}{2}\;\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

Với \(\sin 2x = \frac{1}{2}\) suy ra

\(\left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy tập hợp các họ nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {\frac{\pi }{{12}} + k\pi ;\;\frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi ,\;k \in \mathbb{Z}} \right\}\).