Câu hỏi:

12/07/2024 2,877

Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y = sin²x + 2sinx.cosx − cos²x + 5.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: y = sin²x + 2sinx.cosx − cos²x + 5

= (sin²x − cos²x) + 2sinx.cosx + 5

= −cos 2x + sin 2x + 5

= sin 2x − cos 2x + 5

\( = \sqrt 2 \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) + 4\)

Do \( - 1 \le \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\)

\( \Rightarrow - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \)

\( \Rightarrow 5 - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) + 5 \le 5 + \sqrt 2 \)

+) \(\min y = 5 - \sqrt 2 \)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \)

\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{8} + k\pi ,\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

+) \(\max y = 5 + \sqrt 2 \)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)

\( \Leftrightarrow x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi ,\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy GTNN của hàm số là \(5 - \sqrt 2 \) khi \(x = - \frac{\pi }{8} + k\pi ,\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) và GTLN của hàm số là \(5 + \sqrt 2 \) khi \(x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi ,\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều (ảnh 2)

Gọi H là trung điểm của AB suy ra SH ⏊ AB .

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\end{array} \right.\) nên SH ⏊ (ABCD)

Gọi O = AC Ç BD.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC \cap \left( {SBD} \right) = O\\AO = OC\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {C,\;\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\;\left( {SBD} \right)} \right)\)

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}AH \cap \left( {SBD} \right) = B\\AB = 2HB\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {A,\;\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {H,\;\left( {SBD} \right)} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {H,\;\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\;\left( {SBD} \right)} \right)\)

Do đó \(\frac{{d\left( {C,\;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\;\left( {SBD} \right)} \right)}} = \frac{{d\left( {A,\;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{\frac{1}{2}d\left( {A,\;\left( {SBD} \right)} \right)}} = 2\).

Kẻ HM ⏊ BD (M Î BD), kẻ HK ⏊ SM tại K

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot HM\\BD \bot SH\;\left( {do\;SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow BD \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow BD \bot HK\).

Lại có HK ⏊ SM Þ HK ⏊ (SBD) tại K Þ HK = d(H, (SBD)).

Vì ABCD là hình vuông nên AO ⏊ BD mà HM ⏊ BD Þ HM // AO.

Lại có H là trung điểm của AB nên M là trung điểm của BO.

Suy ra HM là đường trung bình của tam giác ABO

\( \Rightarrow HM = \frac{{AO}}{2} = \frac{1}{2}\,.\,\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\).

Xét tam giác SMH vuông tại H, ta có \(HM = \frac{{a\sqrt 2 }}{4};\;SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) nên

\(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{{28}}{{3{a^2}}}\)

\( \Rightarrow HK = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}} \Rightarrow d\left( {C,\;\left( {SBD} \right)} \right) = 2d\left( {H,\;\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) bằng \(\frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Câu 2

Giải phương trình: \({2^{{x^2}\, - \,x\, + \,8}} = {4^{1\, - \,3x}}\).

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: \({2^{{x^2}\, - \,x\, + \,8}} = {4^{1\, - \,3x}}\)

\( \Leftrightarrow {2^{{x^2} - x + 8}} = {2^{2\left( {1 - 3x} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow {2^{{x^2} - x + 8}} = {2^{2 - 6x}}\)

Logarit cơ số 2 hai vế ta được: \({\log _2}{2^{{x^2} - x + 8}} = {\log _2}{2^{2 - 6x}}\)

Þ x² − x + 8 = 2 − 6x

Û x² + 5x + 6 = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = - 2\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm của phương trình là x = −2 và x = −3.

Câu 3