Cho x, y là hai số không âm thỏa mãn x + y = 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + {y^2} - x + 1\).

Do x, y là hai số không âm thỏa mãn x + y = 2 Þ y = 2 – x (0 ≤ x ≤ 2)

Khi đó: \(P = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + {y^2} - x + 1\)

\( = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + {\left( {2 - x} \right)^2} - x + 1\)

\( = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} - 5x + 5\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} - 5x + 5,\;x \in \left[ {0;\;2} \right]\) có: 

\(f'\left( x \right) = {x^2} + 4x - 5 \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\;\;\;\,\left( {tm} \right)\\x = - 5\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0; 2] có:

\(f\left( 0 \right) = 5;\;f\left( 1 \right) = \frac{7}{3};\;f\left( 2 \right) = \frac{{17}}{3}\).

Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \frac{7}{3}\).

Vậy GTNN của P là \(\frac{7}{3}\) khi x = 1 và y = 2 − 1 = 1.