Có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc khoảng (−10; 10) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x\left( {x - m} \right)} - 1}}{{x + 2}}\) có đúng ba đường tiệm cận?

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - m} \right) \ge 0\\x \ne - 2\end{array} \right.\)

Ta có:

• \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {x\left( {x - m} \right)} - 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {1 - \frac{m}{x}} - \frac{1}{x}}}{{1 + \frac{2}{x}}} = 1\];

• \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {x\left( {x - m} \right)} - 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {1 - \frac{m}{x}} + \frac{1}{x}}}{{ - 1 - \frac{2}{x}}} = - 1\].

Suy ra đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang y = ±1.

Do đó bài toán thỏa mãn khi đồ thị hàm số chỉ có duy nhất một tiệm cận đứng.

Ta lại có: \(y = \frac{{\sqrt {x\left( {x - m} \right)} - 1}}{{x + 2}} = \frac{{{x^2} - mx - 1}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {\sqrt {x\left( {x - m} \right)} + 1} \right)}}\)

Để đồ thị hàm số chỉ có duy nhất một đường TCĐ thì x = −2 không là nghiệm của tử và x = −2 thuộc tập xác định của hàm số.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2\left( { - 2 - m} \right) \ge 0\\{\left( { - 2} \right)^2} - m\,.\,\left( { - 2} \right) - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge - 2\\2m + 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge - 2\\m \ne - \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

Mặt khác, m Î (−10; 10), m Î ℤ nên m Î {−2; −1; 0; 1; 2; …; 8; 9}.

Vậy có tất cả 12 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài toán.