Cho biết \(\tan \alpha = \frac{2}{3}\). Tính giá trị biểu thức \(M = \frac{{{{\sin }^3}\alpha + 3c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}\alpha }}{{27{{\sin }^3}\alpha - 25co{{\rm{s}}^3}\alpha }}\).

Đáp án đúng là: A

Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm.

Gọi \(B = \Delta \cap Oy \Rightarrow B(0;t;0)\)

Ta có: (d) vuông góc với ∆ nên ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {AB} = 0 \Leftrightarrow (1; - 2;2).( - 2;t - 1; - 3) = 0\\ \Leftrightarrow - 2 - 2t + 2 - 6 = 0 \Leftrightarrow t = - 3\end{array}\)

Nên \(B(0; - 3;0);A(2;1;3)\)

Suy ra \(\overrightarrow {AB} = ( - 2; - 4; - 3)\)

Phương trình đường thẳng cần tìm có 1 vtcp là (2; 4; 3) và đi qua điểm B(0; –3; 0) dạng: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = - 3 + 4t\\z = 3t\end{array} \right.\)

Vậy đáp án cần chọn là A.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

\(\int_1^2 {\frac{{x + 1}}{{{x^2} + x\ln x}}} \;{\rm{d}}x = \int_1^2 {\frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{x + \ln x}}} \;{\rm{d}}x = \int_1^2 {\frac{{{\rm{d}}(x + \ln x)}}{{x + \ln x}}} = \ln |x + \ln x|_1^2 = \ln (\ln 2 + 2)\)

Mặt khác:

\(\begin{array}{l}\int_1^2 {\frac{{x + 1}}{{{x^2} + x\ln x}}} \;{\rm{d}}x = \ln (\ln a + b) = \ln (\ln 2 + 2)\\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b = 2}\end{array} \Rightarrow P = 12} \right.\end{array}\)

Vậy đáp án cần chọn là A.