Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, K là trung điểm của AD. Gọi I là hình chiếu của điểm D trên CK. Chứng minh rằng $\widehat{AIB}=90°$.

a) Gọi AC ∩ BD = O

Khi đó O∈(SAC) và O ∈ (SBD)

⇒ O ∈ (SAC) ∩ (SBD)

Lại có S ∈ (SAC) ∩ (SBD)

Do đó (SAC) ∩ (SBD) = SO

Gọi AM ∩ SO = P

Khi đó P ∈ AM và P ∈ SO, SO ⊂ (SBD)

Vậy AM ∩ (SBD) = P

b) Gọi AN ∩ BD = Q

Khi đó Q ∈ (AMN) và Q∈(SBD)

Lại có P ∈ (AMN) và P ∈ (SBD)

Vậy (AMN) ∩ (SBD) = PQ

Gọi PQ ∩ SD = R

Suy ra R ∈ (AMN) và R ∈ SD

Vậy SD ∩ (AMN) = R.

Kẻ đường cao AH, BD

$S_{ABC}=\frac{1}{2}.AH.BC$ (*)

Mà tam giác AHB vuông tại H nên: $\sin \widehat{B}=\frac{AH}{AB}\Rightarrow AH=AB.\sin \widehat{B}$

Khi đó: $S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.BC.\sin \widehat{B}$

Tương tự: Trong tam giác AHC vuông tại H có: $\sin \widehat{C}=\frac{AH}{AC}\Rightarrow AH=AC.\sin \widehat{C}$

Khi đó: $S_{ABC}=\frac{1}{2}.AC.BC.\sin \widehat{C}$

Ta có: $S_{ABC}=\frac{1}{2}.BD.AC$ (*)

Trong tam giác BAD vuông tại D có: $\sin A=\frac{BD}{AB}\Rightarrow BD=AB.\sin \widehat{A}$