Cho hình bình hành ABCD có $\widehat{BAD}=60°$; AD = 2AB. Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AD.

a) MCND là hình thoi.

b) ABMD là hình thang cân.

a) Gọi AC ∩ BD = O

Khi đó O∈(SAC) và O ∈ (SBD)

⇒ O ∈ (SAC) ∩ (SBD)

Lại có S ∈ (SAC) ∩ (SBD)

Do đó (SAC) ∩ (SBD) = SO

Gọi AM ∩ SO = P

Khi đó P ∈ AM và P ∈ SO, SO ⊂ (SBD)

Vậy AM ∩ (SBD) = P

b) Gọi AN ∩ BD = Q

Khi đó Q ∈ (AMN) và Q∈(SBD)

Lại có P ∈ (AMN) và P ∈ (SBD)

Vậy (AMN) ∩ (SBD) = PQ

Gọi PQ ∩ SD = R

Suy ra R ∈ (AMN) và R ∈ SD

Vậy SD ∩ (AMN) = R.

Ta có: a // AB và b // AB nên a // b

Vì a // AB nên $\widehat{MAB}+\widehat{M_1}=180°$

Mà $\widehat{M_1}=120°$ (vì đối đỉnh)

Nên: $\widehat{MAB}=180°-\widehat{M_1}=180°-120°=60°$

Lại có: $\widehat{MAN}=\widehat{MAB}+\widehat{BAN}=100°$

Suy ra: $\widehat{BAN}=100°-60=40°$

Lại có: AB // b nên: $\widehat{BAN}=\widehat{ANb}=40°$

Mà $\widehat{ANb}=\widehat{N_1}$

Vậy $\widehat{N_1}=40°$.