Tìm số tự nhiên n biết 3n + 4n = 5n.

Câu hỏi:

19/08/2025 1,158

Tìm số tự nhiên n biết 3ⁿ + 4ⁿ = 5ⁿ.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

3ⁿ + 4ⁿ = 5ⁿ

Xét n = 2, ta có: 3² + 4² = 5² (đúng).

Xét n = 3, ta có: 3³ + 4³ ≠ 5³

Xét n > 3, n có dạng n = 3k; 3k + 1; 3k + 2.

+ Nếu n = 3k ta có: 3ⁿ + 4ⁿ = 5ⁿ

⇔ 3^3k + 4^3k = 5^3k

⇔ 64^k = 125^k – 27^k

Ta thấy 125^k ⋮ 3 và 27^k ⋮ 3 nên 125^k – 27^k ⋮ 3

Mà 64^k không chia hết cho 3. Suy ra vô lí.

Vậy trường hợp này vô nghiệm.

+ Nếu n = 3k + 1 ta có:

3^3k+1 + 4^3k+1 = 5^3k+1

3 . 27^k + 4 . 64^k = 5 . 125^k

Ta thấy 5. 125^k ⋮ 3 và 3 . 27^k ⋮ 3

Mà 64^k không chia hết cho 3. Suy ra 4 . 64^k không chia hết cho 3.

Vậy trường hợp này vô nghiệm.

+ Nếu n = 3k + 2 ta có:

3^3k+2 + 4^3k+2 = 5^3k+2

9 . 27^k + 16 . 64^k = 25 . 125^k

Chứng minh tương tự như trên, trường hợp này cũng vô nghiệm.

Vậy n = 2.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Có bao nhiêu số có 2 chữ số đều chia hết cho 3?

Xem đáp án

Lời giải

Số có 2 chữ số nhỏ nhất chia hết cho 3 là: 12

Số có 2 chữ số lớn nhất chia hết cho 3 là: 99

Có số số có 2 chữ số chia hết cho 3 là:

(99 – 12) : 3 + 1 = 30 (số)

Đáp số: 30 số.

Câu 2

Cho a + b + c = 0 và a² + b² + c² = 14. Tính a⁴ + b⁴ + c⁴.

Xem đáp án

Lời giải

a + b + c = 0

⇔ (a + b + c)² = 0

⇔ a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = 0

⇔ ab + bc + ca = –7.

Bình phương 2 vế ta có:

(ab + bc + ca)² = 49

⇔ a²b² + b²c² + a²c² + 2abc (a + b + c) = 49

⇔ a²b² + b²c² + a²c² = 49.

Lại có:

a² + b² + c² = 14

⇔ (a² + b² + c²)² = 14² = 196

⇔ a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2(a²b² + b²c² + a²c²) = 196

⇔ a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2 . 49 = 196

⇔ a⁴ + b⁴ + c⁴ = 196 – 98

⇔ a⁴ + b⁴ + c⁴ = 98.

Vậy a⁴ + b⁴ + c⁴ = 98.

Câu 3