Cho x, y là hai số thực không âm thỏa mãn điều kiện x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của x² + y².

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: x + y = 1 Þ y = 1 – x

Þ x² + y² = x² + (1 – x)² = x² + 1 – 2x + x² = 2x² – 2x + 1

$= 2 (x^{2} - x + \frac{1}{4}) + \frac{1}{2} = 2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2}$

Với x ≥ 0 ta có ${(x - \frac{1}{2})}^{2} \geq 0$ nên $2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} \geq \frac{1}{2}$

Do đó $x^{2} + y^{2} \geq \frac{1}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${(x - \frac{1}{2})}^{2} = 0 \Leftrightarrow x - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$

Với $x = \frac{1}{2} \Rightarrow y = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất của x² + y² là $\frac{1}{2}$ khi $x = y = \frac{1}{2}$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Xem đáp án

Lời giải

Giả sử điểm A(x₀; y₀) là điểm thuộc (P) và có tung độ gấp đôi hoành độ.

Suy ra y₀ = 2x₀.

Do điểm thuộc đồ thị (P) nên ta có $y_{0} = 2 x_{0}^{2}$

Khi đó $2 x_{0}^{2} = 2 x_{0}$

$\Leftrightarrow 2 x_{0}^{2} - 2 x_{0} = 0$

$\Leftrightarrow 2 x_{0} (x_{0} - 1) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x_{0} = 0 \\ x_{0} - 1 = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = 0 \\ x_{0} = 1 \end{array}$

Với x₀ = 0 thì y₀ = 0.

Với x₀ = 1 thì y₀ = 2.

Vậy có 2 điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài là (0; 0) và (1; 2).

Câu 2

Xem đáp án

Lời giải

Biểu thức A có (100 – 1): 1 + 1 = 100 số hạng

Nhóm hai số hạng thành 1 nhóm ra được 100 : 2 = 50 nhóm

A = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + ... + 99 – 100

A = (1 – 2) + (3 – 4) + (5 – 6) + ... + (99 – 100)

A = (–1) + (–1) + (–1) + ... + (–1)

A = (–1) . 50 = –50

Vậy A = –50.

Câu 3