Cho abc ≠ 1 hoặc abc ≠ –1 và ab+1b=bc+1c=ca+1a . Chứng minh rằng a = b = c.

Ta có: ab+1b=bc+1c=ca+1a ⇔a+1b=b+1c=c+1a ⇔a−b=1c−1bb−c=1a−1cc−a=1b−1a ⇔a−b=b−cbcb−c=c−aacc−a=a−bab ⇔a−bb−cc−a=b−cbc.c−aac.a−bab ⇔a−bb−cc−a−a−bb−cc−aa2b2c2=0 ⇔a−bb−cc−a1−1a2b2c2=0 ⇔a−bb−cc−a=0 (vì abc ≠ 1, abc ≠ –1) ⇔a−b=0b−c=0c−a=0 ⇔a=bb=cc=a • Nếu a = b thì 1a−1c=0 . Do đó a = c, suy ra a = b = c; • Nếu b = c thì 1c−1b=0 . Do đó b = c, suy ra a = b = c; • Nếu c = a thì 1b−1a=0 . Do đó b = a, suy ra a = b = c. Vậy a = b = c.

Câu hỏi:

15/06/2023 423

Cho abc ≠ 1 hoặc abc ≠ –1 và $\frac{a b + 1}{b} = \frac{b c + 1}{c} = \frac{c a + 1}{a}$ .

Chứng minh rằng a = b = c.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $\frac{a b + 1}{b} = \frac{b c + 1}{c} = \frac{c a + 1}{a}$

$\Leftrightarrow a + \frac{1}{b} = b + \frac{1}{c} = c + \frac{1}{a}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a - b = \frac{1}{c} - \frac{1}{b} \\ b - c = \frac{1}{a} - \frac{1}{c} \\ c - a = \frac{1}{b} - \frac{1}{a} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a - b = \frac{b - c}{b c} \\ b - c = \frac{c - a}{a c} \\ c - a = \frac{a - b}{a b} \end{cases}$

$\Leftrightarrow (a - b) (b - c) (c - a) = \frac{b - c}{b c} . \frac{c - a}{a c} . \frac{a - b}{a b}$

$\Leftrightarrow (a - b) (b - c) (c - a) - \frac{(a - b) (b - c) (c - a)}{a^{2} b^{2} c^{2}} = 0$

$\Leftrightarrow (a - b) (b - c) (c - a) (1 - \frac{1}{a^{2} b^{2} c^{2}}) = 0$

$\Leftrightarrow (a - b) (b - c) (c - a) = 0$ (vì abc ≠ 1, abc ≠ –1)

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} a - b = 0 \\ b - c = 0 \\ c - a = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = b \\ b = c \\ c = a \end{array}$

• Nếu a = b thì $\frac{1}{a} - \frac{1}{c} = 0$ . Do đó a = c, suy ra a = b = c;

• Nếu b = c thì $\frac{1}{c} - \frac{1}{b} = 0$ . Do đó b = c, suy ra a = b = c;

• Nếu c = a thì $\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = 0$ . Do đó b = a, suy ra a = b = c.

Vậy a = b = c.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho (P): y = 2x². Tìm các điểm nằm trên đồ thị (P) có tung độ gấp đôi hoành độ.

Xem đáp án

Lời giải

Giả sử điểm A(x₀; y₀) là điểm thuộc (P) và có tung độ gấp đôi hoành độ.

Suy ra y₀ = 2x₀.

Do điểm thuộc đồ thị (P) nên ta có $y_{0} = 2 x_{0}^{2}$

Khi đó $2 x_{0}^{2} = 2 x_{0}$

$\Leftrightarrow 2 x_{0}^{2} - 2 x_{0} = 0$

$\Leftrightarrow 2 x_{0} (x_{0} - 1) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x_{0} = 0 \\ x_{0} - 1 = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = 0 \\ x_{0} = 1 \end{array}$

Với x₀ = 0 thì y₀ = 0.

Với x₀ = 1 thì y₀ = 2.

Vậy có 2 điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài là (0; 0) và (1; 2).

Câu 2

Tính A = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + ... + 99 – 100.

Xem đáp án

Lời giải

Biểu thức A có (100 – 1): 1 + 1 = 100 số hạng

Nhóm hai số hạng thành 1 nhóm ra được 100 : 2 = 50 nhóm

A = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + ... + 99 – 100

A = (1 – 2) + (3 – 4) + (5 – 6) + ... + (99 – 100)

A = (–1) + (–1) + (–1) + ... + (–1)

A = (–1) . 50 = –50

Vậy A = –50.

Câu 3