Cho tam giác ABC, điểm D đối xứng vs A qua B, E đối xứng B qua C, F đối xứng C qua A Gọi G là giao điểm của đường trung tuyến AM. Trong tam giác ABC với trung tuyến DN của tam giác DEF Gọi I, K lần lượt là trung điểm của GA và GD.

1) Chứng minh tứ giác MNIK là hình bình hành.

2) Chứng minh tam giác ABC và tam giác DEF có cùng trọng tâm.

Nối A vs N

a) Xét tam giác CEF có: N là trung điểm của EF (gt) và A là trung điểm của FC (vì C đối xứng với F qua A)

⇒ AN là đường trung bình của tam giác CEF

⇒ AN//CE và $AN=\frac{1}{2}CE$

⇒ $AN=\frac{1}{2}BC$(vì BC = CE)

⇒ AN = BM(vì $BM=\frac{1}{2}BC$)

Xét tứ giác ANMB có: AN = MB (cmt) và AN//MB

(vì AN// CE; B, M, C, E thẳng hàng)  

⇒ tứ giác ANMB là hình bình hành

⇒ MN // AB và AB = MN (1)  

xét tam gíac AGD có: I là trung điểm của AG (gt) và K là trung điểm của DG (gt)

⇒ IK là đường trung bình của tam giác AGD

⇒ $IK=\frac{1}{2}AD$và IK //AD 

Mà B là trung điểm của AD (vì A đx vs D qua B) ⇒ AB = BD = $\frac{1}{2}$AD

⇒ IK = AB (= $\frac{1}{2}$AD)     (2)

Từ (1), (2) ⇒ IK = MN

Ta có: MN// AB (cmt); B thuộc AD ⇒ MN//AD

Xét tứ giác MNIK có: IK = MN (cmt) và IK // MN (cùng // AD) 

⇒ tứ giác MNIK là hình bình hành (đpcm)

b) Do tứ giác MNIK là hình bình hành (câu a) mà G là giao điểm của IM và KN nên G là trung điểm của IM là KN

⇒ IG = MG và KG = NG

Mặt khác: I là trung điểm của AG (gt) ⇒ IG = AI ⇒ AI = IG = GM

K là trung điểm của DG (gt) ⇒ DK = KG ⇒ DK = KG = GN

xét tam giác ABC có: AM là đường trung tuyến và AI = IG = GM (cmt)

⇒ G là trọng tâm của tam giác ABC (*)

Xét tam giác DEF có: DN là đg trung tuyến (gt) và DK = KG = GN (cmt) ⇒ G là trọng tâm của tam giác DEF   (**)

Từ (*), (**) ⇒ G vừa là trọng tâm của tam giác ABC vừa là trọng tâm của tam giác DEF

⇒ Tam giác ABC và tam giác DEF có cùng trọng tâm là G (đpcm).