Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Gọi E là hình chiếu của H trên AB. a. Biết AE = 3,6 cm; BE = 6,4 cm. Tính AH, EH và góc B^ (Số đo góc làm tròn đến độ) b. Kẻ HF vuông góc với AC tại F. Chứng mi...

a) Trong tam giác ABH vuông tại H, ta có: EH2 = AE.BE = 3,6.6,4 = 23,04 ⇒ EH = 4,8 (cm) AH2 = AE.AB = 3,6(3,6 + 6,4) = 36 ⇒ AH = 6 (cm) sinB^=AHAB=63,6+6,4⇒B^=36,87°≈37° b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABH vuông tại H: AH2 = AE.AB Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ACH vuông tại H: AH2 = AF.AC Suy ra: AB.AE = AC.AF (= AH2) c) Xét tam giác AEF và tam giác ABC có: Chung A^ AEAC=AFAB(từ AB.AE = AC.AF) ⇒ ∆AEF ∽ ∆ACB (c.g.c) ⇒ AEF^=ACB^;AFE^=ABC^ Gọi I là giao điểm AD và EF Có: tam giác IAF vuông tại I nên IAF^+IFA^=90° Tam giác ABH vuông tại H nên BAH^+ABH^=90° Mà: AFE^=ABC^ hay IFA^=ABH^ nên BAH^=IAF^ Xét tam giác AOE và ADC có: EAO^=DAC^(vì BAH^=IAF^) AEF^=ACB^⇔AEO^=DCA^ Suy ra: ∆AOE ∽ ∆ADC (g.g) ⇒ SADCSAOE=AC2AE2=AHsinC2AH.cosBAH^2=1sin2C.cos2BAH^=1sin2C.sin2B (vì tam giác ABH vuông tại H nên cosBAH^=sinB^).

Câu hỏi:

13/07/2024 6,202

Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Gọi E là hình chiếu của H trên AB.

a. Biết AE = 3,6 cm; BE = 6,4 cm. Tính AH, EH và góc $\hat{B}$ (Số đo góc làm tròn đến độ)

b. Kẻ HF vuông góc với AC tại F. Chứng minh AB.AE = AC.AF.

c. Đường thẳng qua A và vuông góc với EF cắt BC tại D; EF cắt AH tại O.

Chứng minh rằng $S_{A D C} = \frac{S_{A O E}}{\sin^{2} B . \sin^{2} C}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Gọi E là hình chiếu của H trên AB (ảnh 1)

a) Trong tam giác ABH vuông tại H, ta có:

EH² = AE.BE = 3,6.6,4 = 23,04 ⇒ EH = 4,8 (cm)

AH² = AE.AB = 3,6(3,6 + 6,4) = 36 ⇒ AH = 6 (cm)

$s i n \hat{B} = \frac{A H}{A B} = \frac{6}{3,6 + 6,4} \Rightarrow \hat{B} = 36,87 ° \approx 37 °$

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABH vuông tại H:

AH² = AE.AB

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ACH vuông tại H:

AH² = AF.AC

Suy ra: AB.AE = AC.AF (= AH²)

c) Xét tam giác AEF và tam giác ABC có:

Chung $\hat{A}$

$\frac{A E}{A C} = \frac{A F}{A B}$ (từ AB.AE = AC.AF)

⇒ ∆AEF ∽ ∆ACB (c.g.c)

⇒ $\hat{A E F} = \hat{A C B}; \hat{A F E} = \hat{A B C}$

Gọi I là giao điểm AD và EF

Có: tam giác IAF vuông tại I nên $\hat{I A F} + \hat{I F A} = 90 °$

Tam giác ABH vuông tại H nên $\hat{B A H} + \hat{A B H} = 90 °$

Mà: $\hat{A F E} = \hat{A B C}$ hay $\hat{I F A} = \hat{A B H}$ nên $\hat{B A H} = \hat{I A F}$

Xét tam giác AOE và ADC có:

$\hat{E A O} = \hat{D A C}$ (vì $\hat{B A H} = \hat{I A F}$ )

$\hat{A E F} = \hat{A C B} \Leftrightarrow \hat{A E O} = \hat{D C A}$

Suy ra: ∆AOE ∽ ∆ADC (g.g)

⇒ $\frac{S_{A D C}}{S_{A O E}} = \frac{A C^{2}}{A E^{2}} = \frac{{(\frac{A H}{\sin C})}^{2}}{{(A H . \cos \hat{B A H})}^{2}} = \frac{1}{\sin^{2} C . \cos^{2} \hat{B A H}} = \frac{1}{\sin^{2} C . \sin^{2} B}$

(vì tam giác ABH vuông tại H nên $\cos \hat{B A H} = \sin \hat{B}$ ).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC, D là trung điểm AB, E là trung điểm AC. Vẽ F sao cho E là trung điểm DF. Chứng minh:

a) DB = CF.

b) ∆BDC = ∆FCD.

c) DE // BC và $D E = \frac{1}{2} B C$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC, D là trung điểm AB, E là trung điểm AC. Vẽ F sao cho E là trung điểm DF (ảnh 1)

a) Xét tam giác AED và CEF có:

EA = EC

$\hat{A E D} = \hat{C E F}$ (đối đỉnh)

ED = EF

⇒ ∆AED = ∆CEF (c.g.c)

⇒ DA = CF

Mà DA = DB nên DB = CF

b) ∆AED = ∆CEF nên: $\hat{A} = \hat{E C F}$

Suy ra: AB // CF

⇒ $\hat{B D C} = \hat{D C F}$ (so le trong)

Xét tam giác BDC và FCD có:

DC chung

$\hat{B D C} = \hat{D C F}$

BD = CF

⇒ ∆BDC = ∆FCD (c.g.c)

c) ∆BDC = ∆FCD nên $\hat{D C B} = \hat{C D F}$

Suy ra: DE // BC (2 góc so le trong bằng nhau)

Lại có BC = DF = 2DE

Nên: $D E = \frac{1}{2} B C$ .

Câu 2

Cho tứ diện ABCD. trên AC và AD lấy 2 điểm MN sao cho MN không song song với CD. Gọi O là điểm bên trong tam giác BCD.

a) Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD).

b) Tìm giao điểm của BC với (OMN).

c) Tìm giao điểm của BD với (OMN).

Xem đáp án

Lời giải

Cho tứ diện ABCD. trên AC và AD lấy 2 điểm MN sao cho MN không song song với CD. (ảnh 1)

a) Trong mp(ACD) gọi I là giao điểm của NM và CD.

Khi đó OI = (OMN) ∩ (BCD)

b) Trong mp(BCD) gọi H, K là giao điểm OI với BC và BD

K, H ∈ OI nên K, H ∈ (OMN)

Vậy H = BC ∩ (OMN)

c) K, H ∈ OI nên K, H ∈ (OMN)

Nên K = BD ∩ (OMN).

Câu 3