Câu hỏi:
15/08/2023 128Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = xlnx, y = 0, x = e quay xung quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng \(\frac{\pi }{a}\left( {b{e^3} - 2} \right).\) Tìm a và b.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
Xét phương trình: xlnx = 0 ⇔ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\) ⇒ x = 1.
Áp dụng công thức trên ta có: \(V = \pi \int_1^e {{{\left( {x\ln x} \right)}^2}dx} = \pi \int_1^e {{x^2}{{\ln }^2}xdx} \)
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = {{\ln }^2}x}\\{dv = {x^2}dx}\end{array}} \right.\) ⇒ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = 2\ln x\frac{{dx}}{x}}\\{v = \frac{{{x^3}}}{3}}\end{array}} \right.\)
⇒ \[\frac{v}{\pi } = \frac{{{x^3}}}{3}\left. {{{\ln }^2}x} \right|_1^e - \frac{2}{3}\int_1^e {{x^2}\ln xdx} = \frac{{{e^3}}}{3} - \frac{2}{3}I\]
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = \ln x}\\{dv = {x^2}dx}\end{array}} \right.\) ⇒ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = \frac{{dx}}{x}}\\{v = \frac{{{x^3}}}{3}}\end{array}} \right.\)
⇒ \(I = \frac{{{x^3}}}{3}\left. {\ln x} \right|_1^e - \frac{1}{3}\int_1^e {{x^2}dx} = \frac{{{e^3}}}{3} - \frac{1}{3}\left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_1^e\)
\( = \frac{{{e^3}}}{3} - \frac{1}{3}\left( {\frac{{{e^3}}}{3} - \frac{1}{3}} \right)\)\( = \frac{{2{e^3}}}{9} + \frac{1}{9}.\)
Do đó \(\frac{V}{\pi } = \frac{{{e^3}}}{3} - \frac{2}{3}I = \frac{{{e^3}}}{3} - \frac{2}{3}\left( {\frac{{2{e^3}}}{9} + \frac{1}{9}} \right) = \frac{{5{e^3}}}{{27}} - \frac{2}{{27}}\).
Vậy \(V = \frac{\pi }{{27}}\left( {5{e^3} - 2} \right)\) ⇒ a = 27 và b = 5.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Câu 2:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 3x + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên khoảng (0; +∞).
Câu 3:
Tính tổng các nghiệm của phương trình \(\log _2^2x - {\log _2}9.{\log _3}x = 3.\)
Câu 4:
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Kẻ 2 tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một mặt phẳng bờ AB). Gọi C là một điểm thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến CM với nửa đường tròn (M là tiếp điểm). CM cắt By tại D. Gọi I là giao điểm của OC và AM, K là giao điểm của OD và MB.
a) Tính \(\widehat {COD}.\)
b) Tứ giác OIMK là hình gì?
c) Chứng minh AC.BD không đổi khi C di chuyển trên Ax.
d) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
Câu 5:
Trên một kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên:
a) Một cách tuỳ ý?
b) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa?
Câu 6:
Cho phương trình \(\left( {2\log _3^2x - {{\log }_3}x - 1} \right)\sqrt {{5^x} - m} = 0\) (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?
Câu 7:
Cho hình chóp tam giác S.ABC. Gọi M là trung điểm của SB, N thuộc cạnh SC sao cho NS = 2NC, P thuộc cạnh SA sao cho PA = 2PS. Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của các khối tứ diện BMNP và SABC. Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}.\)
về câu hỏi!