Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Kẻ 2 tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một mặt phẳng bờ AB). Gọi C là một điểm thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến CM với nửa đường tròn (M là tiếp điểm). CM cắt By tại D. Gọi I là giao điểm của OC và AM, K là giao điểm của OD và MB.

a) Tính \(\widehat {COD}.\)

b) Tứ giác OIMK là hình gì?

c) Chứng minh AC.BD không đổi khi C di chuyển trên Ax.

d) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

a) Vì AC và CM là tiếp tuyến cắt nhau tại C của (O) nên CO là tia phân giác của góc AOM.

Tương tự OD là tia phân giác của góc BOM.

Mà \(\widehat {MOA} + \widehat {MOB} = 180^\circ \) ⇒ OC ⊥ OD ⇒ \(\widehat {COD} = 90^\circ \)

b) Vì CM, CA là tiếp tuyến của (O) nên OI ⊥ AM hay \(\widehat {OAM} = 90^\circ \)

Tương tự OD ⊥ MB suy ra \(\widehat {OKM} = 90^\circ \)

Mà AB là đường kính của (O) nên AM ⊥ BM hay \(\widehat {IMK} = 90^\circ \)

Ta có: \(\widehat {OAM} = \widehat {OKM} = \widehat {IMK} = 90^\circ \)

Do đó tứ giác OIMK là hình chữ nhật.

c) Ta có CM, CA là tiếp tuyến của (O) nên CA = CM

Tương tự DM = DB.

Mà OC ⊥ OD, OM ⊥ CD suy ra MC.MD = OM² = R² hay AC.BD = R²

⇒ AC.BD không đổi khi C di chuyển trên Ax.

d) Gọi E là trung điểm của CD.

⇒ OE là đường trung bình của hình thang ABDC.

⇒ EO // AC ⇒ EO ⊥ AB

Mà ∆COD vuông tại O (do \(\widehat {COD} = 90^\circ \))

⇒ (E, EO) là đường tròn đường kính CD

⇒ AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD vì EO ⊥ AB