Câu hỏi:
13/07/2024 1,201
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và \(\widehat {SBA} = \widehat {SCA} = 90^\circ .\) Biết góc giữa SA và mặt đáy bằng \(45^\circ .\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và \(\widehat {SBA} = \widehat {SCA} = 90^\circ .\) Biết góc giữa SA và mặt đáy bằng \(45^\circ .\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.
Câu hỏi trong đề:
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Trong ∆ABC gọi I là trung điểm của BC.
Gọi AH là đường kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
Suy ra HB ⊥ AB, HC ⊥ AC.
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BH \bot AB}\\{SB \bot AB}\end{array}} \right.\) ⇒ AB ⊥ (SBH) ⇒ AB ⊥ SH.
Chứng minh tương tự ta có: AC ⊥ SH.
Suy ra SH ⊥ (ABC)
Trong ∆ABC kẻ đường thẳng qua B song song với AC cắt HC tại M.
Ta có: AC // BM ⇒ d(SB; AC) = d(AC; (SBM)) = d(C; (SBM)).
Ta có CH ⊥ AC ⇒ CM ⊥ BM.
Xét tam giác vuông ACH có: \(CH = AC.\tan 30^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)
Xét tam giác vuông BCM có: \(CM = BC.\cos 30^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
CH ∩ (SBM) = M ⇒ \(\frac{{d\left( {H;\left( {SBM} \right)} \right)}}{{d\left( {C;\left( {SBM} \right)} \right)}} = \frac{{HM}}{{CM}} = 1 - \frac{{CH}}{{CM}} = 1 - \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{3}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{1}{3}\)
Trong ∆SHM kẻ HK ⊥ SM (K ∈ SM) ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BM \bot HM}\\{BM \bot SH}\end{array}} \right.\) ⇒ BM ⊥ (SHM) ⇒ BM ⊥ HK
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{HK \bot BM}\\{HK \bot SM}\end{array}} \right.\) ⇒ HK ⊥ (SBM) ⇒ d(H; (SBM)) = HK
Ta có: \(\left( {\widehat {SA;\left( {ABC} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SA;HA}} \right) = \widehat {SAH} = 45^\circ \)
⇒ ∆SAH vuông cân tại H
⇒ \(SH = AH = \frac{{AC}}{{\cos 30^\circ }} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\); \(HM = \frac{1}{3}CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHM ta có:
\(HK = \frac{{SH\,.\,HM}}{{\sqrt {S{H^2} + H{M^2}} }} = \frac{{\frac{{2a\sqrt 3 }}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{6}}}{{\sqrt {\frac{{12{a^2}}}{9} + \frac{{3{a^2}}}{{36}}} }} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{3}}}{{\frac{{a\sqrt {51} }}{6}}} = \frac{{2a\sqrt {51} }}{{51}}.\)
Vậy \(d\left( {SB;AC} \right) = \frac{{2a\sqrt {51} }}{{17}}.\)
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số. Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp S. tính xác suất để hai số được chọn có chữ số hàng đơn vị giống nhau.
Xem đáp án »
15/08/2023
13,419
Câu 2:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 3x + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên khoảng (0; +∞).
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 3x + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên khoảng (0; +∞).
Xem đáp án »
13/07/2024
3,872
Câu 3:
Cho tam giác đều ABC tâm O, M là điểm bất kỳ trong tam giác. Hình chiếu của M xuống ba cạnh của tam giác lần lượt là D, E, F. Hệ thức giữa các vectơ \(\overrightarrow {MD} ,\overrightarrow {ME} ,\)\[\overrightarrow {MF} ,\] \(\overrightarrow {MO} \) là gì?
Cho tam giác đều ABC tâm O, M là điểm bất kỳ trong tam giác. Hình chiếu của M xuống ba cạnh của tam giác lần lượt là D, E, F. Hệ thức giữa các vectơ \(\overrightarrow {MD} ,\overrightarrow {ME} ,\)\[\overrightarrow {MF} ,\] \(\overrightarrow {MO} \) là gì?
Xem đáp án »
15/08/2023
3,060
Câu 4:
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Kẻ 2 tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một mặt phẳng bờ AB). Gọi C là một điểm thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến CM với nửa đường tròn (M là tiếp điểm). CM cắt By tại D. Gọi I là giao điểm của OC và AM, K là giao điểm của OD và MB.
a) Tính \(\widehat {COD}.\)
b) Tứ giác OIMK là hình gì?
c) Chứng minh AC.BD không đổi khi C di chuyển trên Ax.
d) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Kẻ 2 tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một mặt phẳng bờ AB). Gọi C là một điểm thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến CM với nửa đường tròn (M là tiếp điểm). CM cắt By tại D. Gọi I là giao điểm của OC và AM, K là giao điểm của OD và MB.
a) Tính \(\widehat {COD}.\)
b) Tứ giác OIMK là hình gì?
c) Chứng minh AC.BD không đổi khi C di chuyển trên Ax.
d) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
Xem đáp án »
13/07/2024
2,929
Câu 5:
Tính tổng các nghiệm của phương trình \(\log _2^2x - {\log _2}9.{\log _3}x = 3.\)
Tính tổng các nghiệm của phương trình \(\log _2^2x - {\log _2}9.{\log _3}x = 3.\)
Xem đáp án »
13/07/2024
2,855
Câu 6:
Trên một kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên:
a) Một cách tuỳ ý?
b) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa?
Trên một kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên:
a) Một cách tuỳ ý?
b) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa?
Xem đáp án »
13/07/2024
2,728
Câu 7:
Cho phương trình \(\left( {2\log _3^2x - {{\log }_3}x - 1} \right)\sqrt {{5^x} - m} = 0\) (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?
Cho phương trình \(\left( {2\log _3^2x - {{\log }_3}x - 1} \right)\sqrt {{5^x} - m} = 0\) (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?
Xem đáp án »
13/07/2024
2,433
về câu hỏi!