Câu hỏi:
13/07/2024 2,255
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và \(\widehat {SBA} = \widehat {SCA} = 90^\circ .\) Biết góc giữa SA và mặt đáy bằng \(45^\circ .\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và \(\widehat {SBA} = \widehat {SCA} = 90^\circ .\) Biết góc giữa SA và mặt đáy bằng \(45^\circ .\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.
Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Bắt đầu thiQuảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Trong ∆ABC gọi I là trung điểm của BC.
Gọi AH là đường kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
Suy ra HB ⊥ AB, HC ⊥ AC.
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BH \bot AB}\\{SB \bot AB}\end{array}} \right.\) ⇒ AB ⊥ (SBH) ⇒ AB ⊥ SH.
Chứng minh tương tự ta có: AC ⊥ SH.
Suy ra SH ⊥ (ABC)
Trong ∆ABC kẻ đường thẳng qua B song song với AC cắt HC tại M.
Ta có: AC // BM ⇒ d(SB; AC) = d(AC; (SBM)) = d(C; (SBM)).
Ta có CH ⊥ AC ⇒ CM ⊥ BM.
Xét tam giác vuông ACH có: \(CH = AC.\tan 30^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)
Xét tam giác vuông BCM có: \(CM = BC.\cos 30^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
CH ∩ (SBM) = M ⇒ \(\frac{{d\left( {H;\left( {SBM} \right)} \right)}}{{d\left( {C;\left( {SBM} \right)} \right)}} = \frac{{HM}}{{CM}} = 1 - \frac{{CH}}{{CM}} = 1 - \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{3}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{1}{3}\)
Trong ∆SHM kẻ HK ⊥ SM (K ∈ SM) ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BM \bot HM}\\{BM \bot SH}\end{array}} \right.\) ⇒ BM ⊥ (SHM) ⇒ BM ⊥ HK
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{HK \bot BM}\\{HK \bot SM}\end{array}} \right.\) ⇒ HK ⊥ (SBM) ⇒ d(H; (SBM)) = HK
Ta có: \(\left( {\widehat {SA;\left( {ABC} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SA;HA}} \right) = \widehat {SAH} = 45^\circ \)
⇒ ∆SAH vuông cân tại H
⇒ \(SH = AH = \frac{{AC}}{{\cos 30^\circ }} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\); \(HM = \frac{1}{3}CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHM ta có:
\(HK = \frac{{SH\,.\,HM}}{{\sqrt {S{H^2} + H{M^2}} }} = \frac{{\frac{{2a\sqrt 3 }}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{6}}}{{\sqrt {\frac{{12{a^2}}}{9} + \frac{{3{a^2}}}{{36}}} }} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{3}}}{{\frac{{a\sqrt {51} }}{6}}} = \frac{{2a\sqrt {51} }}{{51}}.\)
Vậy \(d\left( {SB;AC} \right) = \frac{{2a\sqrt {51} }}{{17}}.\)
Nhà sách vietjack
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số. Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp S. tính xác suất để hai số được chọn có chữ số hàng đơn vị giống nhau.
Xem đáp án »
15/08/2023
23,624
Câu 2:
Trên một kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên:
a) Một cách tuỳ ý?
b) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa?
Trên một kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên:
a) Một cách tuỳ ý?
b) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa?
Xem đáp án »
13/07/2024
12,494
Câu 3:
Từ 1 điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R), kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC với (O; R) (B và C là 2 tiếp điểm).
a) Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc 1 đường tròn và AO ⊥ BC tại H.
b) Vẽ đường kính BD. Đường thẳng qua O và vuông góc với AD cắt tia BC tại E. Chứng minh: DC // OA.
Từ 1 điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R), kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC với (O; R) (B và C là 2 tiếp điểm).
a) Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc 1 đường tròn và AO ⊥ BC tại H.
b) Vẽ đường kính BD. Đường thẳng qua O và vuông góc với AD cắt tia BC tại E. Chứng minh: DC // OA.
Xem đáp án »
13/07/2024
7,388
Câu 4:
Cho tam giác đều ABC tâm O, M là điểm bất kỳ trong tam giác. Hình chiếu của M xuống ba cạnh của tam giác lần lượt là D, E, F. Hệ thức giữa các vectơ \(\overrightarrow {MD} ,\overrightarrow {ME} ,\)\[\overrightarrow {MF} ,\] \(\overrightarrow {MO} \) là gì?
Cho tam giác đều ABC tâm O, M là điểm bất kỳ trong tam giác. Hình chiếu của M xuống ba cạnh của tam giác lần lượt là D, E, F. Hệ thức giữa các vectơ \(\overrightarrow {MD} ,\overrightarrow {ME} ,\)\[\overrightarrow {MF} ,\] \(\overrightarrow {MO} \) là gì?
Xem đáp án »
15/08/2023
7,173
Câu 5:
Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = -x2 và y = x – 2.
Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = -x2 và y = x – 2.
Xem đáp án »
13/07/2024
5,856
Câu 6:
Cho phương trình \(\left( {2\log _3^2x - {{\log }_3}x - 1} \right)\sqrt {{5^x} - m} = 0\) (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?
Cho phương trình \(\left( {2\log _3^2x - {{\log }_3}x - 1} \right)\sqrt {{5^x} - m} = 0\) (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?
Xem đáp án »
13/07/2024
5,417
Câu 7:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 3x + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên khoảng (0; +∞).
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 3x + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên khoảng (0; +∞).
Xem đáp án »
13/07/2024
5,055
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)
-
124 câu Trắc nghiệm Ôn tập Toán 12 Chương 3 Hình học có đáp án (Phần 1)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận