Câu hỏi:

13/07/2024 2,696

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và \(\widehat {SBA} = \widehat {SCA} = 90^\circ .\) Biết góc giữa SA và mặt đáy bằng \(45^\circ .\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và góc SBA = góc SCA (ảnh 1)

Trong ∆ABC gọi I là trung điểm của BC.

Gọi AH là đường kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.

Suy ra HB ⊥ AB, HC ⊥ AC.

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BH \bot AB}\\{SB \bot AB}\end{array}} \right.\) ⇒ AB ⊥ (SBH) ⇒ AB ⊥ SH.

Chứng minh tương tự ta có: AC ⊥ SH.

Suy ra SH ⊥ (ABC)

Trong ∆ABC kẻ đường thẳng qua B song song với AC cắt HC tại M.

Ta có: AC // BM ⇒ d(SB; AC) = d(AC; (SBM)) = d(C; (SBM)).

Ta có CH ⊥ AC ⇒ CM ⊥ BM.

Xét tam giác vuông ACH có: \(CH = AC.\tan 30^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)

Xét tam giác vuông BCM có: \(CM = BC.\cos 30^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

CH ∩ (SBM) = M ⇒ \(\frac{{d\left( {H;\left( {SBM} \right)} \right)}}{{d\left( {C;\left( {SBM} \right)} \right)}} = \frac{{HM}}{{CM}} = 1 - \frac{{CH}}{{CM}} = 1 - \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{3}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{1}{3}\)

Trong ∆SHM kẻ HK ⊥ SM (K ∈ SM) ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BM \bot HM}\\{BM \bot SH}\end{array}} \right.\) ⇒ BM ⊥ (SHM) ⇒ BM ⊥ HK

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{HK \bot BM}\\{HK \bot SM}\end{array}} \right.\) ⇒ HK ⊥ (SBM) ⇒ d(H; (SBM)) = HK

Ta có: \(\left( {\widehat {SA;\left( {ABC} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SA;HA}} \right) = \widehat {SAH} = 45^\circ \)

⇒ ∆SAH vuông cân tại H

⇒ \(SH = AH = \frac{{AC}}{{\cos 30^\circ }} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\); \(HM = \frac{1}{3}CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHM ta có:

\(HK = \frac{{SH\,.\,HM}}{{\sqrt {S{H^2} + H{M^2}} }} = \frac{{\frac{{2a\sqrt 3 }}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{6}}}{{\sqrt {\frac{{12{a^2}}}{9} + \frac{{3{a^2}}}{{36}}} }} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{3}}}{{\frac{{a\sqrt {51} }}{6}}} = \frac{{2a\sqrt {51} }}{{51}}.\)

Vậy \(d\left( {SB;AC} \right) = \frac{{2a\sqrt {51} }}{{17}}.\)

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số. Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp S. tính xác suất để hai số được chọn có chữ số hàng đơn vị giống nhau.

A. \(\frac{8}{{89}}.\)

B. \(\frac{{81}}{{89}}.\)

C. \(\frac{{36}}{{89}}.\)

D. \(\frac{{53}}{{89}}.\)

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Số tự nhiên có 2 chữ số là: \(C_9^1.C_{10}^1 = 90\) (số).

\(\Omega :\) “Chọn ngẫu nhiên 2 số từ tập hợp S” ⇒ \({n_\Omega } = C_{90}^2\)

A: “Chọn được 2 số có chữ số hàng đơn vị giống nhau”.

· TH1: Chữ số hàng đơn vị là 0 ⇒ Có 9 chữ số là: 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90.

⇒ Số cách chọn 2 số là: \(C_9^2.\)

Tương tự với các số có chữ số hàng đơn vị là: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

⇒ Có tất cả 10 trường hợp giống nhau.

⇒ \({n_A} = 10.C_9^2\)

⇒ \({P_A} = \frac{{10.C_9^2}}{{C_{90}^2}} = \frac{8}{{89}}.\)

Câu 2

Trên một kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên:

a) Một cách tuỳ ý?

b) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa?

Xem đáp án

Lời giải

a) Có tất cả 5 + 4 + 3 = 12 quyển sách.

Cách sắp xếp các quyển sách một cách tùy ý là: 12! (cách)

b) Chọn vị trí ở giữa cho 5 quyển sách Toán nên có số cách là 5! (cách)

Chọn vị trí đầu cho sách lý, có số cách là 4! (cách)

Chọn vị trí cuối cho sách văn, có số cách là 3! (cách)

Hoán đổi vị trí đầu và vị trí cuối nên thêm 2! (cách)

Vậy số cách sắp xếp các quyển sách trên theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa là:

4!.5!.3!.2! = 34560 (cách)

Câu 3